以下の3つの問題に答えます。 (1) 放物線 $y = ax^2 - 12a + 2$ が $a$ の値にかかわらず通る定点を求めます。 (2) 放物線 $y = ax^2 - 12a + 2$ と円 $x^2 + y^2 = 16$ の交点の $y$ 座標を求めます。 (3) $a = \frac{1}{4}$ のとき、放物線 $y = ax^2 - 12a + 2$ と円 $x^2 + y^2 = 16$ で囲まれる部分のうち、放物線の上側にある部分の面積 $S$ を求めます。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、丁寧に解答を作成します。

1. 問題の内容

以下の3つの問題に答えます。

(1) 放物線 $y = ax^2 - 12a + 2$ が $a$ の値にかかわらず通る定点を求めます。

(2) 放物線 $y = ax^2 - 12a + 2$ と円 $x^2 + y^2 = 16$ の交点の $y$ 座標を求めます。

(3) $a = \frac{1}{4}$ のとき、放物線 $y = ax^2 - 12a + 2$ と円 $x^2 + y^2 = 16$ で囲まれる部分のうち、放物線の上側にある部分の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y = ax^2 - 12a + 2$ が $a$ の値にかかわらず通る定点を求める。

$a$ について整理すると、

$y = a(x^2 - 12) + 2$ となります。

これが $a$ の値にかかわらず成立するためには、

$x^2 - 12 = 0$ かつ $y = 2$ である必要があります。

$x^2 = 12$ より、$x = \pm 2\sqrt{3}$

したがって、求める定点は $(2\sqrt{3}, 2)$ と $(-2\sqrt{3}, 2)$ です。

(2) 放物線と円の交点の $y$ 座標を求める。

放物線と円の式から $x^2$ を消去します。

$y = ax^2 - 12a + 2$ より、$ax^2 = y + 12a - 2$

$x^2 = \frac{y}{a} + 12 - \frac{2}{a}$ ($a \neq 0$)

円の式 $x^2 + y^2 = 16$ に代入すると、

$\frac{y}{a} + 12 - \frac{2}{a} + y^2 = 16$

$y^2 + \frac{1}{a}y - \frac{2}{a} - 4 = 0$

$ay^2 + y - 2 - 4a = 0$

$ay^2 + y - 2(1+2a) = 0$

$a$ がどんな値でもこの式が成り立つためには、$a$について整理する必要があります。

$a(y^2 - 4) + (y - 2) = 0$

$a(y^2 - 4) + (y - 2) = a(y - 2)(y + 2) + (y - 2) = (y-2)(a(y+2)+1) = 0$

したがって、$y = 2$

または、$a(y+2) + 1 = 0$となり$y = -2 - \frac{1}{a}$

放物線と円の交点のy座標は$y=2$

(3) $a = \frac{1}{4}$ のとき、放物線と円で囲まれる部分のうち、放物線の上側にある部分の面積 $S$ を求める。

$a = \frac{1}{4}$ のとき、放物線の式は $y = \frac{1}{4}x^2 - 3 + 2 = \frac{1}{4}x^2 - 1$ となります。

この放物線と円 $x^2 + y^2 = 16$ の交点の $x$ 座標を求めます。

$x^2 = 16 - y^2$ を放物線の式に代入すると、

$y = \frac{1}{4}(16 - y^2) - 1$

$4y = 16 - y^2 - 4$

$y^2 + 4y - 12 = 0$

$(y + 6)(y - 2) = 0$

$y = -6, 2$

$y = -6$ のとき、$x^2 = 16 - (-6)^2 = 16 - 36 = -20$ となり、$x$ は実数解を持ちません。

$y = 2$ のとき、$x^2 = 16 - 2^2 = 12$ より、$x = \pm 2\sqrt{3}$

したがって、交点の座標は $(2\sqrt{3}, 2)$ と $(-2\sqrt{3}, 2)$ です。

求める面積は、円弧と放物線で囲まれた部分の面積です。

扇形の中心角を $\theta$ とすると、$\cos(\frac{\theta}{2}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ より $\frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{3}$

$\theta = \frac{2\pi}{3}$ となります。

扇形の面積は $\frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2} \times 4^2 \times \frac{2\pi}{3} = \frac{16\pi}{3}$

三角形の面積は $\frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times 2 = 4\sqrt{3}$

円弧の面積は $\frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}$

放物線とx軸に囲まれた面積は、 $\int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} (\frac{1}{4}x^2 -1)dx = [\frac{1}{12}x^3-x]_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} = (\frac{1}{12}(2\sqrt{3})^3 - 2\sqrt{3}) - (\frac{1}{12}(-2\sqrt{3})^3 + 2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}-4\sqrt{3} = -4\sqrt{3}$.面積なので、$4\sqrt{3}$.

$S = \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = \frac{16\pi}{3}$

円の上側の面積Sを求める：S = $\frac{16}{3} \pi - 4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $(2\sqrt{3}, 2)$ と $(-2\sqrt{3}, 2)$

(2) $y = 2$

(3) $S = \frac{16\pi}{3}-4\sqrt{3}$