(1) 2進数 $101101_{(2)}$ を10進数に変換する。 (2) 10進数 $143$ を7進数に変換する。 (3) 自然数 $N$ が5進数で $abc_{(5)}$、7進数で $cab_{(7)}$ と表されるとき、$N, a, b, c$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 2進数 $101101_{(2)}$ を10進数に変換する。

(2) 10進数 $143$ を7進数に変換する。

(3) 自然数 $N$ が5進数で $abc_{(5)}$、7進数で $cab_{(7)}$ と表されるとき、$N, a, b, c$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2進数から10進数への変換：

$101101_{(2)} = 1 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45$

(2) 10進数から7進数への変換：

143を7で割っていく。

$143 \div 7 = 20 \cdots 3$

$20 \div 7 = 2 \cdots 6$

$2 \div 7 = 0 \cdots 2$

よって、$143 = 263_{(7)}$

(3) $N$を5進数と7進数で表した式を立て、整理する。

$abc_{(5)} = a \times 5^2 + b \times 5^1 + c \times 5^0 = 25a + 5b + c$

$cab_{(7)} = c \times 7^2 + a \times 7^1 + b \times 7^0 = 49c + 7a + b$

$25a + 5b + c = 49c + 7a + b$

$18a + 4b - 48c = 0$ ...(①)

$9a + 2b - 24c = 0$

$9a + 2b = 24c$

$2b = 24c - 9a$

$2b = 3(8c - 3a)$

$b = \frac{3(8c - 3a)}{2}$ ...(②)

$b$は整数なので、$8c - 3a$ は2の倍数でなければならない。

また、$a, b, c$ は5進数と7進数の桁の数字なので、$1 \le a \le 4$, $0 \le b \le 4$, $1 \le c \le 4$ を満たす。 ($a, c$ は最高位なので0はありえない。)

$2b = 3(8c - 3a)$より、$b$ は3の倍数であるため $b = 0$ または $b = 3$。

$b=0$のとき、$8c = 3a$。

$a, c$ の範囲から、$a=8$, $c=3$しかありえないが、$a$ は5未満なので不適。

$b=3$のとき、$2(3) = 3(8c - 3a)$

$2 = 8c - 3a$

$3a = 8c - 2$

$c=1$のとき、$3a = 6$, $a=2$

$c=2$のとき、$3a = 14$, 不適

$c=3$のとき、$3a = 22$, 不適

$c=4$のとき、$3a = 30$, 不適

よって、$a=2, b=3, c=1$

$N = 25a + 5b + c = 25(2) + 5(3) + 1 = 50 + 15 + 1 = 66$

3. 最終的な答え

(1) ア：45

(2) イ：6, ウ：3

(3) ウ：9, エ：2, オカ：24

(4) キ：3, ク：8, ケ：3

(5) コ：3

(6) サ：2, シ：1

(7) スセ：66