与えられた循環小数を分数で表す問題です。問題は4つあります。 (1) $0.\dot{4}$ (2) $0.\dot{7}\dot{9}$ (3) $0.\dot{4}5\dot{6}$ (4) $-3.\dot{9}7\dot{2}$

1. 問題の内容

与えられた循環小数を分数で表す問題です。問題は4つあります。

(1) $0.\dot{4}$

(2) $0.\dot{7}\dot{9}$

(3) $0.\dot{4}5\dot{6}$

(4) $-3.\dot{9}7\dot{2}$

2. 解き方の手順

循環小数を分数で表す一般的な手順は以下の通りです。

(1) $0.\dot{4}$ の場合

$x = 0.4444...$ と置きます。

$10x = 4.4444...$

$10x - x = 4.4444... - 0.4444...$

$9x = 4$

$x = \frac{4}{9}$

(2) $0.\dot{7}\dot{9}$ の場合

$x = 0.797979...$ と置きます。

$100x = 79.797979...$

$100x - x = 79.797979... - 0.797979...$

$99x = 79$

$x = \frac{79}{99}$

(3) $0.\dot{4}5\dot{6}$ の場合

$x = 0.456456456...$ と置きます。

$1000x = 456.456456456...$

$1000x - x = 456.456456456... - 0.456456456...$

$999x = 456$

$x = \frac{456}{999} = \frac{152}{333}$ (456と999の最大公約数は3)

(4) $-3.\dot{9}7\dot{2}$ の場合

$x = -3.972972972...$ と置きます。

整数部分と小数部分に分けます。

$-3 - 0.\dot{9}7\dot{2}$

$y = 0.972972972...$ と置きます。

$1000y = 972.972972972...$

$1000y - y = 972.972972972... - 0.972972972...$

$999y = 972$

$y = \frac{972}{999} = \frac{36}{37}$ (972と999の最大公約数は27)

$x = -3 - \frac{36}{37} = -\frac{3 \times 37}{37} - \frac{36}{37} = -\frac{111}{37} - \frac{36}{37} = -\frac{147}{37}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{9}$

(2) $\frac{79}{99}$

(3) $\frac{152}{333}$

(4) $-\frac{147}{37}$