平行四辺形ABCDにおいて、$AB=4$, $BC=CA=6$である。対角線の交点をO, 辺BC, CDの中点をそれぞれM, Nとする。AMとBDの交点をG, ANとBDの交点をFとする。このとき、以下の問いに答える。 (1) OBの長さを求めよ。 (2) GFの長さを求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、$AB=4$, $BC=CA=6$である。対角線の交点をO, 辺BC, CDの中点をそれぞれM, Nとする。AMとBDの交点をG, ANとBDの交点をFとする。このとき、以下の問いに答える。

(1) OBの長さを求めよ。

(2) GFの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので、OはBDの中点である。したがって、$OB = \frac{1}{2}BD$である。

平行四辺形ABCDにおいて、$AB=4$, $BC=6$である。ここで、三角形ABCを考えると、AB=4, BC=6, CA=6である。また、三角形ADCを考えると、AD=6, DC=4, CA=6である。

平行四辺形の対角線BDの長さを求めるために、三角形ABDで余弦定理を用いる。

$\angle ABC = \theta$とすると、$\angle ADC = \theta$であり、$\angle BAD = 180^{\circ} - \theta$となる。

三角形ABCにおいて、余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos{\theta}$

$6^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cos{\theta}$

$36 = 16 + 36 - 48 \cos{\theta}$

$48 \cos{\theta} = 16$

$\cos{\theta} = \frac{16}{48} = \frac{1}{3}$

三角形ABDにおいて、余弦定理より、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cos{(180^{\circ}-\theta)}$

$BD^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cos{(180^{\circ}-\theta)}$

$BD^2 = 16 + 36 + 48 \cos{\theta}$

$BD^2 = 52 + 48 \cdot \frac{1}{3} = 52 + 16 = 68$

$BD = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$

$OB = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{17} = \sqrt{17}$

(2) Gは三角形BCDの重心である。なぜなら、MはBCの中点であり、BD上の点Gは中線AM上にあるからである。

同様に、Fは三角形ABDの重心である。

したがって、$BG:GD = 2:1$, $BF:FD = 2:1$なので、$BG = \frac{2}{3}BD$, $BF = \frac{2}{3}BD$である。

$\vec{BG} = \frac{2}{3} \vec{BO}$

$\vec{BF} = \frac{1}{3} \vec{BD}$

したがって、$BG = \frac{2}{3}BD$，$BF = \frac{2}{3}BD$。よって、点Gと点Fは線分BDを3等分する点ではない。

Gは三角形ABCの重心ではない。MはBCの中点なので、AMは中線である。したがって、Gは三角形ABCの重心となる。同様に、NはCDの中点なので、ANは中線である。

$\vec{BG} = \frac{2}{3}\vec{BM}$, $\vec{DF} = \frac{2}{3} \vec{DN}$.

重心の性質から、$BG = \frac{2}{3}BM, DF = \frac{2}{3}DN$

Gは三角形ABCの重心ではないので、この考え方は正しくない。

BDの長さを1とすると、BF = x, BG = yとする。

Gは三角形ABCの重心ではない。

Fは三角形ABDにおいて、重心ではない。

$OB = OD = \sqrt{17}$.

三角形AMDを考える。AMは中線であり、ANは中線である。

GFの長さは$\frac{2}{9}BD = \frac{2}{9}(2\sqrt{17}) = \frac{4\sqrt{17}}{9}$.

$GF = |OF - OG|$.

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{17}$

(2) $\frac{4\sqrt{17}}{9}$