数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求める問題です。 初期条件は $a_1 = 3$ であり、漸化式は $a_{n+1} = 2a_n - n$ です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求める問題です。

初期条件は $a_1 = 3$ であり、漸化式は $a_{n+1} = 2a_n - n$ です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式を特性方程式を用いて変形します。$a_{n+1}=2a_n-n$ を変形するため、$a_n = pn+q$ と仮定します。

すると、$a_{n+1} = p(n+1) + q = pn + p + q$ となります。

これを与えられた漸化式に代入すると、

$pn + p + q = 2(pn + q) - n$

$pn + p + q = 2pn + 2q - n$

$pn + p + q = (2p-1)n + 2q$

係数を比較すると、

$p = 2p - 1$ より $p = 1$

$p + q = 2q$ より $q = p = 1$

よって、$a_n = n+1$ と仮定すると、

$a_{n+1} - ((n+1)+1) = a_{n+1} - (n+2) = 2a_n - n - (n+2) = 2a_n - 2n - 2 = 2(a_n - (n+1))$

$b_n = a_n - (n+1)$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$ という等比数列になることが分かります。

次に、$b_1 = a_1 - (1+1) = 3 - 2 = 1$ となります。

したがって、$b_n = b_1 \cdot 2^{n-1} = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$ です。

$a_n = b_n + n + 1$ なので、$a_n = 2^{n-1} + n + 1$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^{n-1} + n + 1$