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次の定積分を計算します。 $\int_{1}^{4} (3x^2 + 9) dx - \int_{1}^{4} (2x + 6) dx$

解析学定積分積分計算
2025/4/6

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。
∫14(3x2+9)dx−∫14(2x+6)dx\int_{1}^{4} (3x^2 + 9) dx - \int_{1}^{4} (2x + 6) dx

2. 解き方の手順

まず、積分を一つにまとめます。
∫14(3x2+9)dx−∫14(2x+6)dx=∫14((3x2+9)−(2x+6))dx\int_{1}^{4} (3x^2 + 9) dx - \int_{1}^{4} (2x + 6) dx = \int_{1}^{4} ((3x^2 + 9) - (2x + 6)) dx
次に、被積分関数を整理します。
∫14(3x2+9−2x−6)dx=∫14(3x2−2x+3)dx\int_{1}^{4} (3x^2 + 9 - 2x - 6) dx = \int_{1}^{4} (3x^2 - 2x + 3) dx
次に、不定積分を計算します。
∫(3x2−2x+3)dx=x3−x2+3x+C\int (3x^2 - 2x + 3) dx = x^3 - x^2 + 3x + C
次に、定積分を計算します。
∫14(3x2−2x+3)dx=[x3−x2+3x]14\int_{1}^{4} (3x^2 - 2x + 3) dx = [x^3 - x^2 + 3x]_{1}^{4}
=(43−42+3(4))−(13−12+3(1))= (4^3 - 4^2 + 3(4)) - (1^3 - 1^2 + 3(1))
=(64−16+12)−(1−1+3)= (64 - 16 + 12) - (1 - 1 + 3)
=(60)−(3)= (60) - (3)
=57= 57

3. 最終的な答え

57

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