次の定積分を計算します。 $\int_{1}^{3} (x^2 + 3) dx + \int_{1}^{3} (-7x^2 - 4x) dx$

解析学定積分積分微積分

2025/4/6

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

\int_{1}^{3} (x^2 + 3) dx + \int_{1}^{3} (-7x^2 - 4x) dx

2. 解き方の手順

まず、2つの積分をまとめます。積分区間が同じなので、被積分関数を足し合わせることができます。

\int_{1}^{3} (x^2 + 3 - 7x^2 - 4x) dx = \int_{1}^{3} (-6x^2 - 4x + 3) dx

次に、不定積分を計算します。

\int (-6x^2 - 4x + 3) dx = -6 \int x^2 dx - 4 \int x dx + 3 \int dx = -6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = -2x^3 - 2x^2 + 3x + C

ここで、

C

は積分定数です。

最後に、定積分を計算します。

\int_{1}^{3} (-6x^2 - 4x + 3) dx = [-2x^3 - 2x^2 + 3x]_{1}^{3} = (-2(3)^3 - 2(3)^2 + 3(3)) - (-2(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1)) = (-2(27) - 2(9) + 9) - (-2 - 2 + 3) = (-54 - 18 + 9) - (-1) = -63 - (-1) = -63 + 1 = -62

3. 最終的な答え

-62

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