与えられた2つの定積分の値を求めます。 (1) $\int_{1}^{2} \sqrt{e^{6x}} dx$ (2) $\int_{0}^{1} (e^{3x} - 1)(e^{-x} + 2) dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの定積分の値を求めます。

(1) $\int_{1}^{2} \sqrt{e^{6x}} dx$

(2) $\int_{0}^{1} (e^{3x} - 1)(e^{-x} + 2) dx$

2. 解き方の手順

(1) 定積分 $\int_{1}^{2} \sqrt{e^{6x}} dx$ を計算します。

まず、積分を簡単にするために、$\sqrt{e^{6x}}$ を整理します。

$\sqrt{e^{6x}} = (e^{6x})^{\frac{1}{2}} = e^{3x}$

したがって、

$\int_{1}^{2} \sqrt{e^{6x}} dx = \int_{1}^{2} e^{3x} dx$

次に、 $e^{3x}$ の積分を計算します。

$\int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C$ （Cは積分定数）

したがって、

$\int_{1}^{2} e^{3x} dx = \left[ \frac{1}{3} e^{3x} \right]_{1}^{2} = \frac{1}{3} e^{3(2)} - \frac{1}{3} e^{3(1)} = \frac{1}{3} e^{6} - \frac{1}{3} e^{3} = \frac{1}{3} (e^{6} - e^{3})$

(2) 定積分 $\int_{0}^{1} (e^{3x} - 1)(e^{-x} + 2) dx$ を計算します。

まず、被積分関数を展開します。

$(e^{3x} - 1)(e^{-x} + 2) = e^{3x} e^{-x} + 2e^{3x} - e^{-x} - 2 = e^{2x} + 2e^{3x} - e^{-x} - 2$

したがって、

$\int_{0}^{1} (e^{3x} - 1)(e^{-x} + 2) dx = \int_{0}^{1} (e^{2x} + 2e^{3x} - e^{-x} - 2) dx$

次に、各項の積分を計算します。

$\int e^{2x} dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C$

$\int 2e^{3x} dx = \frac{2}{3} e^{3x} + C$

$\int -e^{-x} dx = e^{-x} + C$

$\int -2 dx = -2x + C$

したがって、

$\int_{0}^{1} (e^{2x} + 2e^{3x} - e^{-x} - 2) dx = \left[ \frac{1}{2} e^{2x} + \frac{2}{3} e^{3x} + e^{-x} - 2x \right]_{0}^{1}$

$= \left( \frac{1}{2} e^{2} + \frac{2}{3} e^{3} + e^{-1} - 2(1) \right) - \left( \frac{1}{2} e^{0} + \frac{2}{3} e^{0} + e^{-0} - 2(0) \right)$

$= \frac{1}{2} e^{2} + \frac{2}{3} e^{3} + \frac{1}{e} - 2 - \frac{1}{2} - \frac{2}{3} - 1$

$= \frac{1}{2} e^{2} + \frac{2}{3} e^{3} + \frac{1}{e} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - \frac{2}{3} - \frac{3}{3}$

$= \frac{1}{2} e^{2} + \frac{2}{3} e^{3} + \frac{1}{e} - \frac{3}{2} - \frac{2}{3} - 3 = \frac{1}{2} e^{2} + \frac{2}{3} e^{3} + \frac{1}{e} - \frac{19}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3}(e^6 - e^3)$

(2) $\frac{1}{2}e^2 + \frac{2}{3}e^3 + \frac{1}{e} - \frac{19}{6}$