与えられた定積分を計算する問題です。問題は以下の2つです。 (1) $\int_{1}^{2} (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx$ (2) $\int_{1}^{4} (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2) dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。問題は以下の2つです。

(1) $\int_{1}^{2} (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx$

(2) $\int_{1}^{4} (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2) dx$

2. 解き方の手順

(1)

まず、被積分関数を項ごとに積分します。

$\int 6x^5 dx = x^6 + C$

$\int 5x^4 dx = x^5 + C$

$\int -\frac{1}{x^2} dx = \int -x^{-2} dx = x^{-1} + C = \frac{1}{x} + C$

したがって、不定積分は $x^6 + x^5 + \frac{1}{x} + C$ となります。

定積分は、

$[x^6 + x^5 + \frac{1}{x}]_{1}^{2} = (2^6 + 2^5 + \frac{1}{2}) - (1^6 + 1^5 + \frac{1}{1}) = (64 + 32 + \frac{1}{2}) - (1 + 1 + 1) = 96 + \frac{1}{2} - 3 = 93 + \frac{1}{2} = \frac{187}{2}$

(2)

まず、被積分関数を整理します。

$\sqrt{\frac{4}{x^3}} = \frac{2}{x^{3/2}} = 2x^{-3/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2}}x^{-1/2}$

$(3x)^2 = 9x^2$

したがって、積分は

$\int_{1}^{4} (2x^{-3/2} + \frac{1}{\sqrt{2}}x^{-1/2} + 9x^2) dx$

各項を積分します。

$\int 2x^{-3/2} dx = 2 \cdot \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C = -4x^{-1/2} + C = -\frac{4}{\sqrt{x}} + C$

$\int \frac{1}{\sqrt{2}}x^{-1/2} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{\sqrt{2}}x^{1/2} + C = \sqrt{2x} + C$

$\int 9x^2 dx = 3x^3 + C$

不定積分は $-\frac{4}{\sqrt{x}} + \sqrt{2x} + 3x^3 + C$ となります。

定積分は

$[-\frac{4}{\sqrt{x}} + \sqrt{2x} + 3x^3]_{1}^{4} = (-\frac{4}{2} + \sqrt{8} + 3(64)) - (-4 + \sqrt{2} + 3) = (-2 + 2\sqrt{2} + 192) - (-1 + \sqrt{2}) = -2 + 2\sqrt{2} + 192 + 1 - \sqrt{2} = 191 + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{187}{2}$

(2) $191 + \sqrt{2}$