与えられた定積分 $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} dx$

の値を求めます。

2. 解き方の手順

被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} = \frac{A}{\sin x} + \frac{B}{1 + \cos x}$

とおきます。両辺に $\sin x (1 + \cos x)$ を掛けると、

$1 + \sin x = A(1 + \cos x) + B \sin x$

となります。

$x = \frac{\pi}{2}$ を代入すると、

$1 + 1 = A(1 + 0) + B(1)$

$2 = A + B$

となります。

$x = \pi$ を代入すると、

$1 + 0 = A(1 - 1) + B(0)$

$1 = 0$

となり、これは成り立ちません。そこで、$x = 0$ を代入することを考えます。

しかし、$\sin x$ が分母にあるため、直接 $x = 0$ を代入することはできません。

そこで、$1 + \sin x = A(1 + \cos x) + B \sin x$ を変形します。

$1 + \sin x = A + A \cos x + B \sin x$

両辺の定数項、$\sin x$ の係数、$\cos x$ の係数を比較すると、

$A = 1$

$B = 1$

$A = 0$

となり、矛盾が生じます。

部分分数分解を諦め、別の方法を考えます。

$\sin x = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}$, $\cos x = \frac{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}$ を代入します。

$\frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} = \frac{1 + \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}}{\frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} (1 + \frac{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}})} = \frac{1 + \tan^2 \frac{x}{2} + 2 \tan \frac{x}{2}}{2 \tan \frac{x}{2} (1 + \tan^2 \frac{x}{2} + 1 - \tan^2 \frac{x}{2})} = \frac{1 + \tan^2 \frac{x}{2} + 2 \tan \frac{x}{2}}{4 \tan \frac{x}{2}} = \frac{\sec^2 \frac{x}{2} + 2 \tan \frac{x}{2}}{4 \tan \frac{x}{2}} = \frac{\sec^2 \frac{x}{2}}{4 \tan \frac{x}{2}} + \frac{1}{2}$

したがって、

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} dx = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{\sec^2 \frac{x}{2}}{4 \tan \frac{x}{2}} + \frac{1}{2}) dx = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^2 \frac{x}{2}}{2 \tan \frac{x}{2}} dx + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} dx$

$\tan \frac{x}{2} = t$ と置換すると、$\frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx = dt$ となるため、

$\frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^2 \frac{x}{2}}{2 \tan \frac{x}{2}} dx = \frac{1}{2} \int_{\tan \frac{\pi}{6}}^{\tan \frac{\pi}{4}} \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} [\ln |t|]_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{1} = \frac{1}{2} (\ln 1 - \ln \frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{1}{2} (0 - (-\frac{1}{2} \ln 3)) = \frac{1}{4} \ln 3$

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2} [x]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{12}$

したがって、$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} dx = \frac{1}{4} \ln 3 + \frac{\pi}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{\ln 3}{4} + \frac{\pi}{12}$