$f(x) = \arctan(\sqrt{1+x})$ が与えられたとき、 (1) $f(x)$ の $x=0$ における1次のテイラー多項式 $P_1f(x; 0)$ を求める。 (2) $\varphi(x) = 3x$ とする。極限 $$ A = \lim_{x\to 0} \frac{f(\varphi(x)) - B - Cx}{x^2} $$ が存在するような実数 $B, C$ を求め、そのときの $A$ を求める。

1. 問題の内容

$f(x) = \arctan(\sqrt{1+x})$ が与えられたとき、

(1) $f(x)$ の $x=0$ における1次のテイラー多項式 $P_1f(x; 0)$ を求める。

(2) $\varphi(x) = 3x$ とする。極限

$$A = \lim_{x\to 0} \frac{f(\varphi(x)) - B - Cx}{x^2}$$

が存在するような実数 $B, C$ を求め、そのときの $A$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 1次のテイラー多項式は

$P_1f(x;0) = f(0) + f'(0)x$

で与えられる。

$f(x) = \arctan(\sqrt{1+x})$ なので、

$f(0) = \arctan(\sqrt{1+0}) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$

次に、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = \frac{1}{1+(\sqrt{1+x})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x}} = \frac{1}{1+1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x}} = \frac{1}{(2+x)2\sqrt{1+x}}$

$f'(0) = \frac{1}{(2+0)2\sqrt{1+0}} = \frac{1}{2\cdot 2} = \frac{1}{4}$

したがって、$P_1f(x;0) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4}x$

(2)

$A = \lim_{x\to 0} \frac{f(3x) - B - Cx}{x^2}$

$f(3x) = \arctan(\sqrt{1+3x})$

$f(0) = \arctan(\sqrt{1+0}) = \frac{\pi}{4}$

極限が存在するためには、$\lim_{x\to 0} f(3x) - B - Cx = 0$ でなければならない。

$x \to 0$ のとき、$f(3x) \to \frac{\pi}{4}$、$Cx \to 0$ より、$B = \frac{\pi}{4}$ でなければならない。

$A = \lim_{x\to 0} \frac{\arctan(\sqrt{1+3x}) - \frac{\pi}{4} - Cx}{x^2}$

$\arctan(t)$ の $t=1$ におけるテイラー展開を考える。

$\arctan(t) = \arctan(1) + \frac{1}{1+1^2}(t-1) + O((t-1)^2) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}(t-1) + O((t-1)^2)$

$t = \sqrt{1+3x}$ とすると、

$\arctan(\sqrt{1+3x}) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}(\sqrt{1+3x}-1) + O((\sqrt{1+3x}-1)^2)$

$\sqrt{1+3x} = 1 + \frac{1}{2}(3x) + O(x^2) = 1 + \frac{3}{2}x + O(x^2)$

$\arctan(\sqrt{1+3x}) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}(\frac{3}{2}x) + O(x^2) = \frac{\pi}{4} + \frac{3}{4}x + O(x^2)$

$A = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\pi}{4} + \frac{3}{4}x - \frac{\pi}{4} - Cx + O(x^2)}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{(\frac{3}{4}-C)x + O(x^2)}{x^2}$

極限が存在するためには、$\frac{3}{4} - C = 0$ でなければならない。

したがって、$C = \frac{3}{4}$

$A = \lim_{x\to 0} \frac{\arctan(\sqrt{1+3x}) - \frac{\pi}{4} - \frac{3}{4}x}{x^2}$

$\sqrt{1+3x} = 1 + \frac{3}{2}x - \frac{9}{8}x^2 + O(x^3)$

$\arctan(\sqrt{1+3x}) = \arctan(1 + \frac{3}{2}x - \frac{9}{8}x^2) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{1+(1)^2} (\frac{3}{2}x - \frac{9}{8}x^2) - \frac{1}{2(1+1)^2}(\frac{3}{2}x - \frac{9}{8}x^2)^2 + O(x^3)$

$= \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}(\frac{3}{2}x - \frac{9}{8}x^2) - \frac{1}{8}(\frac{9}{4}x^2) + O(x^3) = \frac{\pi}{4} + \frac{3}{4}x - \frac{9}{16}x^2 - \frac{9}{32}x^2 + O(x^3) = \frac{\pi}{4} + \frac{3}{4}x - \frac{27}{32}x^2 + O(x^3)$

$A = \lim_{x\to 0} \frac{(\frac{\pi}{4} + \frac{3}{4}x - \frac{27}{32}x^2) - \frac{\pi}{4} - \frac{3}{4}x + O(x^3)}{x^2} = -\frac{27}{32}$

3. 最終的な答え

(1) $P_1f(x;0) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4}x$

(2) $B = \frac{\pi}{4}$, $C = \frac{3}{4}$, $A = -\frac{27}{32}$