2つの定積分の問題を解きます。 (1) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos{\frac{x}{2}}-6\sin{3x})dx$ (2) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\csc{x}+\tan{x})\cos{x} dx$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

2つの定積分の問題を解きます。

(1) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos{\frac{x}{2}}-6\sin{3x})dx$

(2) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\csc{x}+\tan{x})\cos{x} dx$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\cos{\frac{x}{2}}$と$\sin{3x}$の積分を計算します。

$\cos{\frac{x}{2}}$の積分は、$2\sin{\frac{x}{2}}$です。

$\sin{3x}$の積分は、$-\frac{1}{3}\cos{3x}$です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos{\frac{x}{2}}-6\sin{3x})dx = [2\sin{\frac{x}{2}} + 2\cos{3x}]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$

次に、積分範囲の上限と下限を代入して計算します。

$[2\sin{\frac{\pi}{4}} + 2\cos{\frac{3\pi}{2}}] - [2\sin{\frac{\pi}{6}} + 2\cos{\pi}] = [2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + 2\cdot 0] - [2\cdot\frac{1}{2} + 2\cdot(-1)] = \sqrt{2} - [1 - 2] = \sqrt{2} - (-1) = \sqrt{2} + 1$

(2)

まず、被積分関数を簡略化します。

$\csc{x} = \frac{1}{\sin{x}}$、$\tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}$であるため、

$(\csc{x}+\tan{x})\cos{x} = (\frac{1}{\sin{x}} + \frac{\sin{x}}{\cos{x}})\cos{x} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}} + \sin{x}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\frac{\cos{x}}{\sin{x}} + \sin{x})dx = [\ln|\sin{x}| - \cos{x}]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}$

次に、積分範囲の上限と下限を代入して計算します。

$[\ln|\sin{\frac{\pi}{3}}| - \cos{\frac{\pi}{3}}] - [\ln|\sin{\frac{\pi}{6}}| - \cos{\frac{\pi}{6}}] = [\ln{\frac{\sqrt{3}}{2}} - \frac{1}{2}] - [\ln{\frac{1}{2}} - \frac{\sqrt{3}}{2}] = \ln{\frac{\sqrt{3}}{2}} - \ln{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \ln{\sqrt{3}} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\ln{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}\ln{3}$であるため、最終的な答えは$\frac{1}{2}\ln{3} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2} + 1$

(2) $\frac{1}{2}\ln{3} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$