定積分 $\int_1^4 (x-1) \log x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_1^4 (x-1) \log x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。まず、積分を分配して2つの積分に分けます。

$\int_1^4 (x-1) \log x \, dx = \int_1^4 x \log x \, dx - \int_1^4 \log x \, dx$

それぞれの積分を計算します。

まず、$\int_1^4 x \log x \, dx$ を計算します。$u = \log x$, $dv = x \, dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を用いると、

$\int_1^4 x \log x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_1^4 - \int_1^4 \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_1^4 - \frac{1}{2} \int_1^4 x \, dx$

$= \left( \frac{16}{2} \log 4 - \frac{1}{2} \log 1 \right) - \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^4 = 8 \log 4 - 0 - \frac{1}{2} \left( \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right) = 8 \log 4 - \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{2} = 8 \log 4 - \frac{15}{4}$

次に、$\int_1^4 \log x \, dx$ を計算します。$u = \log x$, $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = x$ となります。部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を用いると、

$\int_1^4 \log x \, dx = \left[ x \log x \right]_1^4 - \int_1^4 x \cdot \frac{1}{x} \, dx = \left[ x \log x \right]_1^4 - \int_1^4 1 \, dx = \left( 4 \log 4 - 1 \log 1 \right) - \left[ x \right]_1^4$

$= 4 \log 4 - 0 - (4 - 1) = 4 \log 4 - 3$

したがって、

$\int_1^4 (x-1) \log x \, dx = \left( 8 \log 4 - \frac{15}{4} \right) - \left( 4 \log 4 - 3 \right) = 8 \log 4 - \frac{15}{4} - 4 \log 4 + 3 = 4 \log 4 - \frac{15}{4} + \frac{12}{4} = 4 \log 4 - \frac{3}{4}$

$\log 4 = \log 2^2 = 2 \log 2$ より、

$4 \log 4 - \frac{3}{4} = 4 (2 \log 2) - \frac{3}{4} = 8 \log 2 - \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$8 \log 2 - \frac{3}{4}$