与えられた2つの定積分を計算します。 (1) $\int_{1}^{2} \sqrt{e^{6x}} dx$ (2) $\int_{0}^{1} (e^{3x} - 1)(e^{-x} + 2) dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの定積分を計算します。

(1) $\int_{1}^{2} \sqrt{e^{6x}} dx$

(2) $\int_{0}^{1} (e^{3x} - 1)(e^{-x} + 2) dx$

2. 解き方の手順

(1)

まず、積分を簡単にするために、$\sqrt{e^{6x}}$を整理します。

$\sqrt{e^{6x}} = (e^{6x})^{\frac{1}{2}} = e^{3x}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{2} e^{3x} dx$

次に、$e^{3x}$を積分します。$\int e^{3x} dx = \frac{1}{3}e^{3x} + C$

定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} e^{3x} dx = [\frac{1}{3}e^{3x}]_{1}^{2} = \frac{1}{3}e^{6} - \frac{1}{3}e^{3} = \frac{1}{3}(e^{6} - e^{3})$

(2)

まず、被積分関数を展開します。

$(e^{3x} - 1)(e^{-x} + 2) = e^{3x}e^{-x} + 2e^{3x} - e^{-x} - 2 = e^{2x} + 2e^{3x} - e^{-x} - 2$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} (e^{2x} + 2e^{3x} - e^{-x} - 2) dx$

次に、各項を積分します。

$\int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}$

$\int 2e^{3x} dx = \frac{2}{3}e^{3x}$

$\int -e^{-x} dx = e^{-x}$

$\int -2 dx = -2x$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} (e^{2x} + 2e^{3x} - e^{-x} - 2) dx = [\frac{1}{2}e^{2x} + \frac{2}{3}e^{3x} + e^{-x} - 2x]_{0}^{1}$

定積分を計算します。

$[\frac{1}{2}e^{2x} + \frac{2}{3}e^{3x} + e^{-x} - 2x]_{0}^{1} = (\frac{1}{2}e^{2} + \frac{2}{3}e^{3} + e^{-1} - 2) - (\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + 1 - 0) = \frac{1}{2}e^{2} + \frac{2}{3}e^{3} + e^{-1} - 2 - \frac{1}{2} - \frac{2}{3} - 1 = \frac{1}{2}e^{2} + \frac{2}{3}e^{3} + e^{-1} - \frac{11}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3}(e^{6} - e^{3})$

(2) $\frac{1}{2}e^{2} + \frac{2}{3}e^{3} + e^{-1} - \frac{11}{6}$