定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (x^2+1)\cos2x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (x^2+1)\cos2x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、部分積分を用いて積分を計算します。

$\int (x^2+1)\cos2x \, dx$ を計算するために、まず $x^2+1 = u$ と $\cos2x = v'$ とおきます。

すると、 $u' = 2x$ であり、 $v = \frac{1}{2}\sin2x$ です。

部分積分の公式 $\int u v' \, dx = uv - \int u' v \, dx$ を用いると、

$\int (x^2+1)\cos2x \, dx = (x^2+1)\frac{1}{2}\sin2x - \int 2x \cdot \frac{1}{2}\sin2x \, dx = \frac{1}{2}(x^2+1)\sin2x - \int x\sin2x \, dx$

次に、$\int x\sin2x \, dx$ を部分積分で計算します。

$x = u$ と $\sin2x = v'$ とおくと、 $u' = 1$ であり、 $v = -\frac{1}{2}\cos2x$ です。

$\int x\sin2x \, dx = x(-\frac{1}{2}\cos2x) - \int 1(-\frac{1}{2}\cos2x) \, dx = -\frac{1}{2}x\cos2x + \frac{1}{2}\int \cos2x \, dx = -\frac{1}{2}x\cos2x + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\sin2x = -\frac{1}{2}x\cos2x + \frac{1}{4}\sin2x$

したがって、

$\int (x^2+1)\cos2x \, dx = \frac{1}{2}(x^2+1)\sin2x - (-\frac{1}{2}x\cos2x + \frac{1}{4}\sin2x) = \frac{1}{2}(x^2+1)\sin2x + \frac{1}{2}x\cos2x - \frac{1}{4}\sin2x = \frac{1}{2}x^2\sin2x + \frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{2}x\cos2x - \frac{1}{4}\sin2x = \frac{1}{2}x^2\sin2x + \frac{1}{4}\sin2x + \frac{1}{2}x\cos2x$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (x^2+1)\cos2x \, dx = [\frac{1}{2}x^2\sin2x + \frac{1}{4}\sin2x + \frac{1}{2}x\cos2x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2}(\frac{\pi}{4})^2\sin(\frac{\pi}{2}) + \frac{1}{4}\sin(\frac{\pi}{2}) + \frac{1}{2}(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{\pi}{2}) - (0+0+0) = \frac{1}{2}(\frac{\pi^2}{16})(1) + \frac{1}{4}(1) + \frac{1}{2}(\frac{\pi}{4})(0) = \frac{\pi^2}{32} + \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi^2}{32} + \frac{1}{4}$