定積分 $\int_{-1}^{1} (1-x^2)^{10} dx$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} (1-x^2)^{10} dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

被積分関数 $f(x) = (1-x^2)^{10}$ は偶関数である。なぜなら、

$f(-x) = (1-(-x)^2)^{10} = (1-x^2)^{10} = f(x)$

であるからである。

したがって、

$\int_{-1}^{1} (1-x^2)^{10} dx = 2 \int_{0}^{1} (1-x^2)^{10} dx$

となる。

$x = \sin \theta$ と置換する。すると、$dx = \cos \theta d\theta$ となる。

また、$x$ が $0$ から $1$ まで変化するとき、$\theta$ は $0$ から $\pi/2$ まで変化する。

したがって、

$2 \int_{0}^{1} (1-x^2)^{10} dx = 2 \int_{0}^{\pi/2} (1-\sin^2 \theta)^{10} \cos \theta d\theta$

$= 2 \int_{0}^{\pi/2} (\cos^2 \theta)^{10} \cos \theta d\theta = 2 \int_{0}^{\pi/2} \cos^{21} \theta d\theta$

となる。

$\int_{0}^{\pi/2} \cos^{n} \theta d\theta = \frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3} \cdot 1$

を用いて計算すると、

$2 \int_{0}^{\pi/2} \cos^{21} \theta d\theta = 2 \cdot \frac{20}{21} \cdot \frac{18}{19} \cdot \frac{16}{17} \cdot \frac{14}{15} \cdot \frac{12}{13} \cdot \frac{10}{11} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1$

$= \frac{2 \cdot 20 \cdot 18 \cdot 16 \cdot 14 \cdot 12 \cdot 10 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2}{21 \cdot 19 \cdot 17 \cdot 15 \cdot 13 \cdot 11 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3}$

$= \frac{4194304}{6704425}$

3. 最終的な答え

$\frac{4194304}{6704425}$