与えられた分数の和を計算し、簡約化して、最終的な分数の形を求める問題です。式は以下の通りです。 $\frac{1}{9 \times 11} + \frac{1}{11 \times 13} + \frac{1}{13 \times 15} + \frac{1}{15 \times 17} + \frac{1}{17 \times 19} + \frac{1}{19 \times 21} = \frac{イ}{ア}$

1. 問題の内容

与えられた分数の和を計算し、簡約化して、最終的な分数の形を求める問題です。式は以下の通りです。

$\frac{1}{9 \times 11} + \frac{1}{11 \times 13} + \frac{1}{13 \times 15} + \frac{1}{15 \times 17} + \frac{1}{17 \times 19} + \frac{1}{19 \times 21} = \frac{イ}{ア}$

2. 解き方の手順

この問題を解くために、部分分数分解の考え方を利用します。

$\frac{1}{n \times (n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right)$

この関係を使うと、与えられた和は次のように分解できます。

$\frac{1}{9 \times 11} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{11} \right)$

$\frac{1}{11 \times 13} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{13} \right)$

$\frac{1}{13 \times 15} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{13} - \frac{1}{15} \right)$

$\frac{1}{15 \times 17} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{15} - \frac{1}{17} \right)$

$\frac{1}{17 \times 19} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{17} - \frac{1}{19} \right)$

$\frac{1}{19 \times 21} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{19} - \frac{1}{21} \right)$

これらの項をすべて足し合わせると、多くの項が打ち消しあい、以下のようになります。

$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{13} + \frac{1}{13} - \frac{1}{15} + \frac{1}{15} - \frac{1}{17} + \frac{1}{17} - \frac{1}{19} + \frac{1}{19} - \frac{1}{21} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{21} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{7}{63} - \frac{3}{63} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{4}{63} \right)$

$= \frac{2}{63}$

したがって、最終的な答えは $\frac{2}{63}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{2}{63}$

イ = 2

ア = 63