与えられた定積分を計算する問題です。 $$\int_{1}^{3} (7x^2 - 7x + 7) dx - \int_{1}^{5} (7x^2 - 7x + 7) dx - \int_{5}^{6} (7x^2 - 7x + 7) dx$$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。

$$\int_{1}^{3} (7x^2 - 7x + 7) dx - \int_{1}^{5} (7x^2 - 7x + 7) dx - \int_{5}^{6} (7x^2 - 7x + 7) dx$$

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を利用して、積分区間をまとめます。

$$\int_{a}^{b} f(x) dx - \int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{c}^{a} f(x) dx = \int_{c}^{a} f(x) dx + \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{c}^{b} f(x) dx$$

これを用いて、与えられた積分をまとめます。

$$\int_{1}^{3} (7x^2 - 7x + 7) dx - \int_{1}^{5} (7x^2 - 7x + 7) dx - \int_{5}^{6} (7x^2 - 7x + 7) dx$$

$$= \int_{1}^{3} (7x^2 - 7x + 7) dx + \int_{5}^{1} (7x^2 - 7x + 7) dx + \int_{6}^{5} (7x^2 - 7x + 7) dx$$

$$= \int_{5}^{1} (7x^2 - 7x + 7) dx + \int_{1}^{3} (7x^2 - 7x + 7) dx + \int_{6}^{5} (7x^2 - 7x + 7) dx$$

$$= \int_{6}^{1} (7x^2 - 7x + 7) dx + \int_{1}^{3} (7x^2 - 7x + 7) dx$$

$$= \int_{6}^{3} (7x^2 - 7x + 7) dx$$

$$= -\int_{3}^{6} (7x^2 - 7x + 7) dx$$

次に、不定積分を計算します。

$$\int (7x^2 - 7x + 7) dx = 7 \int (x^2 - x + 1) dx = 7 \left( \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right) + C$$

定積分を計算します。

$$-\int_{3}^{6} (7x^2 - 7x + 7) dx = -7 \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_{3}^{6}$$

$$= -7 \left[ \left( \frac{6^3}{3} - \frac{6^2}{2} + 6 \right) - \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} + 3 \right) \right]$$

$$= -7 \left[ \left( \frac{216}{3} - \frac{36}{2} + 6 \right) - \left( \frac{27}{3} - \frac{9}{2} + 3 \right) \right]$$

$$= -7 \left[ (72 - 18 + 6) - (9 - \frac{9}{2} + 3) \right]$$

$$= -7 \left[ 60 - (12 - \frac{9}{2}) \right] = -7 \left[ 60 - \frac{24 - 9}{2} \right]$$

$$= -7 \left[ 60 - \frac{15}{2} \right] = -7 \left[ \frac{120 - 15}{2} \right] = -7 \left[ \frac{105}{2} \right]$$

$$= -\frac{735}{2} = -367.5$$

3. 最終的な答え

-367.5