次の定積分を求めなさい。 $\int_{1}^{3} (-9x^2 - 8x + 5) dx + \int_{3}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) dx + \int_{-2}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を求めなさい。

$\int_{1}^{3} (-9x^2 - 8x + 5) dx + \int_{3}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) dx + \int_{-2}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) dx$

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を利用して、積分区間を整理します。$\int_{b}^{a} f(x) dx = - \int_{a}^{b} f(x) dx$ であることを利用すると、第2項は次のようになります。

$\int_{3}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) dx = - \int_{1}^{3} (-9x^2 - 8x + 5) dx$

すると、与えられた式は次のようになります。

$\int_{1}^{3} (-9x^2 - 8x + 5) dx - \int_{1}^{3} (-9x^2 - 8x + 5) dx + \int_{-2}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) dx$

最初の2つの積分は打ち消し合うため、

$\int_{-2}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) dx$

を計算すれば良いことになります。

$f(x) = -9x^2 - 8x + 5$とすると、$f(x)$の不定積分$F(x)$は、

$F(x) = \int (-9x^2 - 8x + 5) dx = -9 \int x^2 dx - 8 \int x dx + 5 \int dx = -9 \cdot \frac{x^3}{3} - 8 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = -3x^3 - 4x^2 + 5x + C$

したがって、定積分は次のようになります。

$\int_{-2}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) dx = [-3x^3 - 4x^2 + 5x]_{-2}^{1} = (-3(1)^3 - 4(1)^2 + 5(1)) - (-3(-2)^3 - 4(-2)^2 + 5(-2)) = (-3 - 4 + 5) - (-3(-8) - 4(4) - 10) = -2 - (24 - 16 - 10) = -2 - (-2) = 0$

3. 最終的な答え

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