三角形OABにおいて、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$で点Pが定められている。以下の2つの条件それぞれについて、点Pの存在範囲を図示する問題。 (1) $s + t = 1$ (2) $s + 3t = 1$

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$で点Pが定められている。以下の2つの条件それぞれについて、点Pの存在範囲を図示する問題。

(1) $s + t = 1$

(2) $s + 3t = 1$

2. 解き方の手順

(1) $s + t = 1$ の場合

$s + t = 1$であるから、$t = 1 - s$ となる。これを $\overrightarrow{OP}$ の式に代入すると、

$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + (1-s)\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - s\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OB} + s(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB})$

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OB} + s\overrightarrow{BA}$

この式は、点Pが点Bを通り、ベクトル$\overrightarrow{BA}$に平行な直線上にあることを示している。つまり、点Pは直線AB上にある。

(2) $s + 3t = 1$ の場合

$s + 3t = 1$ より、$s = 1 - 3t$ となる。これを $\overrightarrow{OP}$ の式に代入すると、

$\overrightarrow{OP} = (1-3t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} - 3t\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + t(\overrightarrow{OB} - 3\overrightarrow{OA})$

ここで、点Cを$\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OA}$を満たす点とする。すると、

$\overrightarrow{OB} - 3\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CB}$

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{CB}$

この式は、点Pが点Aを通り、ベクトル$\overrightarrow{CB}$に平行な直線上にあることを示している。つまり、点Pは直線CB上にある。

$\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OA}$より、点Cは直線OA上に存在し、$OA:AC = 1:2$となる点である。

3. 最終的な答え

(1) 点Pの存在範囲は直線ABである。

(2) 点Pの存在範囲は直線CBである。ただし点Cは直線OA上にあり、$OA:AC=1:2$を満たす点である。