ベクトル $\vec{a} = (\sqrt{6}, \sqrt{2})$ とベクトル $\vec{b} = (\sqrt{3}, -1)$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (\sqrt{6}, \sqrt{2})$ とベクトル $\vec{b} = (\sqrt{3}, -1)$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

ベクトルの内積の定義を利用します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$

より、

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

を計算し、$\theta$ を求めます。

まず、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\sqrt{6})(\sqrt{3}) + (\sqrt{2})(-1) = \sqrt{18} - \sqrt{2} = 3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

次に、$|\vec{a}|$ を計算します。

$|\vec{a}| = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{6 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

次に、$|\vec{b}|$ を計算します。

$|\vec{b}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

よって、

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})(2)} = \frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{3}$ (または $60^\circ$) です。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{3}$