$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ のとき、$(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b})$ の値を求める。

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ のとき、$(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b})$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、内積の性質を用いて $(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b})$ を展開する。

$(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot (2\vec{a}) + \vec{a} \cdot (-\vec{b}) + 2\vec{b} \cdot (2\vec{a}) + 2\vec{b} \cdot (-\vec{b})$

$= 2(\vec{a} \cdot \vec{a}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 2(\vec{b} \cdot \vec{b})$

$= 2|\vec{a}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2|\vec{b}|^2$

$= 2|\vec{a}|^2 + 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2|\vec{b}|^2$

次に、与えられた条件 $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ を代入する。

$2|\vec{a}|^2 + 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2|\vec{b}|^2 = 2(2^2) + 3(4) - 2(3^2)$

$= 2(4) + 12 - 2(9)$

$= 8 + 12 - 18$

$= 20 - 18$

$= 2$

3. 最終的な答え

$(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b}) = 2$