三角形ABCを直線BCを軸として1回転させてできる立体の表面積と体積を求める問題です。ただし、円周率は $\pi$ とします。三角形ABCは、BC = 6cm, AC = 8cm, AB = 10cmの直角三角形です。

1. 問題の内容

三角形ABCを直線BCを軸として1回転させてできる立体の表面積と体積を求める問題です。ただし、円周率は $\pi$ とします。三角形ABCは、BC = 6cm, AC = 8cm, AB = 10cmの直角三角形です。

2. 解き方の手順

(1) 立体の形状の把握

三角形ABCを直線BCを軸として回転させると、底面の半径がAC = 8cmの円錐から、同じ底面の半径を持つ円錐をくり抜いたような形になります。回転軸となるBCを境にして、大きい円錐の母線はAB = 10 cm、小さい円錐の母線はAC = 8 cmとなります。

(2) 表面積の計算

この立体の表面積は、大きい円錐の側面と小さい円錐の側面からなります。

* 大きい円錐の側面積: $\pi \times 8 \times 10 = 80\pi$

* 小さい円錐の側面積: $\pi \times 8 \times 8 = 64\pi$

したがって、表面積は $80\pi + 64\pi = 144\pi$ 平方センチメートルです。

(3) 体積の計算

この立体の体積は、大きい円錐の体積から小さい円錐の体積を引いたものとして計算できます。

* 大きい円錐の体積: $\frac{1}{3} \pi \times 8^2 \times 6 = \frac{1}{3} \pi \times 64 \times 6 = 128\pi$

* 小さい円錐の体積: 0　(ACが回転軸に垂直なので円錐は作られない）

したがって、体積は$128\pi$ 立方センチメートルです。

3. 最終的な答え

表面積: $144\pi$ 平方センチメートル

体積: $128\pi$ 立方センチメートル