三角形ABCを直線BCを軸として1回転させたときにできる立体の表面積と体積を求めます。ただし、円周率は $\pi$ とします。三角形ABCは、BC = 6cm、AC = 8cm、AB = 10cmの直角三角形です。

1. 問題の内容

三角形ABCを直線BCを軸として1回転させたときにできる立体の表面積と体積を求めます。ただし、円周率は $\pi$ とします。三角形ABCは、BC = 6cm、AC = 8cm、AB = 10cmの直角三角形です。

2. 解き方の手順

まず、回転させてできる立体が円錐2つを底面で貼り合わせた形になることを理解します。

・円錐1：底面の半径はAC = 8cm、母線はAB = 10cm

・円錐2：底面の半径はAC = 8cm、母線はAC = 8cm（高さ）

次に、それぞれの円錐の表面積を求めます。

円錐の表面積は、$底面積 + 側面積$で計算されます。側面積は、$半径 \times 母線 \times \pi$です。

・円錐1：底面積 = $8^2 \pi = 64 \pi$、側面積 = $8 \times 10 \times \pi = 80 \pi$。よって、表面積 = $64 \pi + 80 \pi = 144 \pi$

・円錐2：底面積 = $8^2 \pi = 64 \pi$、側面積 = $8 \times 8 \times \pi = 64 \pi$。よって、表面積 = $64 \pi + 64 \pi = 128 \pi$

立体全体の表面積は、2つの円錐の側面積の和になります。（底面は内部で接するため、表面積には含まれない）

よって、表面積 = $80 \pi + 64 \pi = 144 \pi$

次に、それぞれの円錐の体積を求めます。

円錐の体積は、$1/3 \times 底面積 \times 高さ$で計算されます。

・円錐1：底面積 = $8^2 \pi = 64 \pi$、高さ = BC = 6cm。よって、体積 = $1/3 \times 64 \pi \times 6 = 128 \pi$

・円錐2：底面積 = $8^2 \pi = 64 \pi$、高さ = BC = 6cm。よって、体積 = $1/3 \times 64 \pi \times 6 = 128 \pi$

立体全体の体積は、2つの円錐の体積の和になります。

体積 = $128\pi + 128\pi = 256\pi$

3. 最終的な答え

表面積: $144\pi$ cm$^2$

体積: $256\pi$ cm$^3$