$25x + 23y = 4$ を満たす整数の組 $(x, y)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$25x + 23y = 4$ を満たす整数の組 $(x, y)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$25x + 23y = 1$ を満たす整数解を一つ見つけます。

$25$ と $23$ にユークリッドの互除法を適用します。

$25 = 23 \cdot 1 + 2$

$23 = 2 \cdot 11 + 1$

よって、

$1 = 23 - 2 \cdot 11$

$1 = 23 - (25 - 23 \cdot 1) \cdot 11$

$1 = 23 - 25 \cdot 11 + 23 \cdot 11$

$1 = 23 \cdot 12 - 25 \cdot 11$

したがって、$25(-11) + 23(12) = 1$ が成り立ちます。

$25x + 23y = 4$ の整数解の一つは、$25(-11 \cdot 4) + 23(12 \cdot 4) = 4$ から $x = -44, y = 48$ となります。

つまり、$25(-44) + 23(48) = 4$ です。

一般解は、

$25x + 23y = 4$

$25(-44) + 23(48) = 4$

辺々引くと、

$25(x + 44) + 23(y - 48) = 0$

$25(x + 44) = -23(y - 48)$

$25$ と $23$ は互いに素なので、$x + 44$ は $23$ の倍数であり、$y - 48$ は $25$ の倍数です。

$x + 44 = 23k$、$y - 48 = -25k$ ($k$ は整数) とおけます。

$x = 23k - 44$

$y = -25k + 48$

これが一般解になります。

3. 最終的な答え

$x = 23k - 44$

$y = -25k + 48$ ($k$ は整数)