(1) 実数全体を全体集合 $U$ とし、$U$ の部分集合 $A$, $B$ を $A = \{x | x^2 + x - 6 \leq 0 \}$ $B = \{x | x^2 - 5x + 4 > 0 \}$ とするとき、次の問いに答えよ。 (i) 2次不等式 $x^2 + x - 6 \leq 0$ の解を求め、$A \cap B$ と $A \cup B$ を求める。 (ii) 実数 $x$ に関する条件 $p, q, r$ を $p : x \in A \cap B$ $q : x \in A \cup B$ $r : x^2 \leq a$ とするとき、$r$ が $q$ であるための必要条件となるような $a$ の値のうち最小のもの、および $r$ が $p$ であるための十分条件となるような $a$ の値のうち最大のものを求める。 (2) $x, y$ は実数とする。次の問いに答えよ。 (i) 「$x=3$ かつ $y=-4$」は、「$x=3$ または $y=-4$」であるための何条件か。 (ii) 「$x=3$ または $y=-4$」は、「$x^2+y^2=25$」であるための何条件か。 (iii) 「$x^2+y^2=25$」は、「$x=3$ かつ $y=-4$」であるための何条件か。

1. 問題の内容

(1) 実数全体を全体集合 $U$ とし、$U$ の部分集合 $A$, $B$ を

$A = \{x | x^2 + x - 6 \leq 0 \}$

$B = \{x | x^2 - 5x + 4 > 0 \}$

とするとき、次の問いに答えよ。

(i) 2次不等式 $x^2 + x - 6 \leq 0$ の解を求め、$A \cap B$ と $A \cup B$ を求める。

(ii) 実数 $x$ に関する条件 $p, q, r$ を

$p : x \in A \cap B$

$q : x \in A \cup B$

$r : x^2 \leq a$

とするとき、$r$ が $q$ であるための必要条件となるような $a$ の値のうち最小のもの、および $r$ が $p$ であるための十分条件となるような $a$ の値のうち最大のものを求める。

(2) $x, y$ は実数とする。次の問いに答えよ。

(i) 「$x=3$ かつ $y=-4$」は、「$x=3$ または $y=-4$」であるための何条件か。

(ii) 「$x=3$ または $y=-4$」は、「$x^2+y^2=25$」であるための何条件か。

(iii) 「$x^2+y^2=25$」は、「$x=3$ かつ $y=-4$」であるための何条件か。

2. 解き方の手順

(1)

(i) $x^2 + x - 6 \leq 0$ を解く。

$(x+3)(x-2) \leq 0$ より、$-3 \leq x \leq 2$。

したがって、$A = \{x | -3 \leq x \leq 2\}$。

$x^2 - 5x + 4 > 0$ を解く。

$(x-1)(x-4) > 0$ より、$x < 1$ または $x > 4$。

したがって、$B = \{x | x < 1 \text{ または } x > 4\}$。

$A \cap B$ は、$A$ と $B$ の共通部分なので、$A \cap B = \{x | -3 \leq x < 1 \}$。

$A \cup B$ は、$A$ と $B$ の和集合なので、$A \cup B = \{x | x \leq 2 \text{ または } x > 4\} = \{x | -3 \leq x \leq 2\}$。

$A \cup B = \{x | -3 \leq x \leq 2\}$。

(ii) $p : x \in A \cap B = \{x | -3 \leq x < 1 \}$。

$q : x \in A \cup B = \{x | -3 \leq x \leq 2 \}$。

$r : x^2 \leq a$。

$r$ が $q$ であるための必要条件ということは、$q \implies r$。

$x \in \{x | -3 \leq x \leq 2 \}$ ならば $x^2 \leq a$ が成り立つ。

$x^2$ の最大値は $(-3)^2 = 9$ より、$a \geq 9$。

$a$ の最小値は $9$。

$r$ が $p$ であるための十分条件ということは、$r \implies p$。

$x^2 \leq a$ ならば $x \in \{x | -3 \leq x < 1 \}$ が成り立つ。

つまり、$-\sqrt{a} \leq x \leq \sqrt{a}$ ならば $-3 \leq x < 1$。

$1 \leq \sqrt{a} \leq 3$。

$1 \leq a \leq 9$。

$a$ の最大値は $1$。

(2)

(i) 「$x=3$ かつ $y=-4$」$\implies$「$x=3$ または $y=-4$」。

よって、十分条件。

「$x=3$ または $y=-4$」$\not \implies$「$x=3$ かつ $y=-4$」。

よって、必要条件ではない。

したがって、十分条件であるが必要条件ではない。

(ii) 「$x=3$ または $y=-4$」$\not \implies$「$x^2+y^2=25$」。

$x = 3$ のとき、$x^2 + y^2 = 9 + y^2 = 25$ ならば $y^2 = 16$, $y = \pm 4$。

$y = -4$ のとき、$x^2 + y^2 = x^2 + 16 = 25$ ならば $x^2 = 9$, $x = \pm 3$。

必要条件ではない。

「$x^2+y^2=25$」$\not \implies$「$x=3$ または $y=-4$」。

十分条件ではない。

したがって、必要条件でも十分条件でもない。

(iii) 「$x^2+y^2=25$」$\not \implies$「$x=3$ かつ $y=-4$」。

必要条件ではない。

「$x=3$ かつ $y=-4$」$\implies$「$x^2+y^2=25$」。

十分条件である。

したがって、十分条件であるが必要条件ではない。

3. 最終的な答え

(1)(i) アイ: -3, ウ: 2

ア: -3, エ: 1

ア: -3, オ: 2

(ii) カ: 9, キ: 1

(2)(i) イ (ii) エ (iii) イ