(3) 2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ ($1 \le x \le 4$) の最小値が -2 のとき、定数 $a$ の値と、このときの最大値を求めよ。 (4) 2次関数 $y = x^2 + 2x + 2a$ ($-2 \le x \le 1$) の最大値が 9 のとき、定数 $a$ の値と、このときの最小値を求めよ。 (5) 2次関数 $y = x^2 - (a-1)x + 4$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(3) 2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ ($1 \le x \le 4$) の最小値が -2 のとき、定数 $a$ の値と、このときの最大値を求めよ。

(4) 2次関数 $y = x^2 + 2x + 2a$ ($-2 \le x \le 1$) の最大値が 9 のとき、定数 $a$ の値と、このときの最小値を求めよ。

(5) 2次関数 $y = x^2 - (a-1)x + 4$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(3)

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 6x + a = (x-3)^2 - 9 + a$

軸は $x = 3$ であり、$1 \le x \le 4$ の範囲に含まれます。

したがって、最小値は $x = 3$ のときにとり、

$-9 + a = -2$

$a = 7$

このとき、$y = (x-3)^2 - 2$

最大値は、$x = 1$ のときにとり、

$y = (1-3)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$

$x=4$ の時も同様に、$y = (4-3)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$

$x=1$の時の値が最大。

(4)

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 + 2x + 2a = (x+1)^2 - 1 + 2a$

軸は $x = -1$ であり、$-2 \le x \le 1$ の範囲に含まれます。

$x = 1$ のとき、最大値をとります。

$y = (1+1)^2 - 1 + 2a = 4 - 1 + 2a = 3 + 2a$

$3 + 2a = 9$

$2a = 6$

$a = 3$

このとき、$y = (x+1)^2 - 1 + 6 = (x+1)^2 + 5$

最小値は、$x = -1$ のときにとり、

$y = (-1+1)^2 + 5 = 5$

(5)

2次関数 $y = x^2 - (a-1)x + 4$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、判別式 $D$ が 0 となります。

$D = (a-1)^2 - 4(1)(4) = (a-1)^2 - 16 = 0$

$(a-1)^2 = 16$

$a-1 = \pm 4$

$a = 1 \pm 4$

$a = 5, -3$

3. 最終的な答え

(3) $a = 7$ で、最大値は 2 である。

(4) $a = 3$ で、最小値は 5 である。

(5) $a = 5, -3$ である。