3桁の整数があり、各桁の数字の和は15です。一の位の数字は百の位の数字よりも5大きく、またその数字を逆にならべるともとの整数の3倍よりも39だけ小さいです。この整数を求めてください。

1. 問題の内容

3桁の整数があり、各桁の数字の和は15です。一の位の数字は百の位の数字よりも5大きく、またその数字を逆にならべるともとの整数の3倍よりも39だけ小さいです。この整数を求めてください。

2. 解き方の手順

3桁の整数を $100a + 10b + c$ とします。ここで、$a$, $b$, $c$ はそれぞれ百の位、十の位、一の位の数字を表します。問題文から以下の3つの式が得られます。

* 各桁の数字の和は15なので、$a + b + c = 15$ ...(1)

* 一の位の数字は百の位の数字よりも5大きいので、$c = a + 5$ ...(2)

* 数字を逆にならべるともとの整数の3倍よりも39だけ小さいので、$100c + 10b + a = 3(100a + 10b + c) - 39$ ...(3)

式(1)と式(2)から、$a+b+(a+5)=15$となり、$2a+b=10$ ...(4) が得られます。

式(3)を展開すると、$100c + 10b + a = 300a + 30b + 3c - 39$ となり、$97c - 299a - 20b = -39$ ...(5) が得られます。

式(2)を式(5)に代入すると、$97(a+5) - 299a - 20b = -39$ となり、$97a + 485 - 299a - 20b = -39$ となります。これを整理すると、$-202a - 20b = -524$ となり、$101a + 10b = 262$ ...(6) が得られます。

式(4)を10倍すると、$20a+10b=100$ ...(7) となります。

式(6)から式(7)を引くと、$81a = 162$ となり、$a = 2$ が得られます。

$a=2$ を式(4)に代入すると、$2(2) + b = 10$ となり、$b = 6$ が得られます。

$a=2$ を式(2)に代入すると、$c = 2 + 5$ となり、$c = 7$ が得られます。

したがって、求める整数は$100a + 10b + c = 100(2) + 10(6) + 7 = 267$ となります。

3. 最終的な答え

267