与えられた式 $\sqrt{2 + 2\sqrt{2}}$ を簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{2 + 2\sqrt{2}}$ を簡単にしてください。

2. 解き方の手順

この問題では、二重根号を外すことを目指します。

$\sqrt{2 + 2\sqrt{2}}$ の形を変形して、$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$ となるような $a$ と $b$ を探します。

まず、与えられた式を $\sqrt{a + b + 2\sqrt{ab}}$ と比較すると、 $a + b = 2$ および $ab = 2$ となる $a$ と $b$ を見つける必要があります。

$a + b = 2$ より、$b = 2 - a$ です。これを $ab = 2$ に代入すると、$a(2 - a) = 2$ となります。

これを展開すると、$2a - a^2 = 2$ となり、$a^2 - 2a + 2 = 0$ となります。

この二次方程式の判別式は、$(-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$ であり、負の数なので、実数解を持ちません。

ここで、与えられた式を別の方法で変形してみましょう。

$\sqrt{2 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} + 1 - 1 + 1} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2 - 1 + 1}$

これは $(\sqrt{2}+1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$ となるので、与えられた式は $(\sqrt{2}+1)^2$ の平方根ではありません。

元の式 $\sqrt{2+2\sqrt{2}}$ について、2重根号の公式 $\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2-B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2-B}}{2}}$ を利用します。

与えられた式を $\sqrt{A + \sqrt{B}}$ の形にすると、$A = 2$、$B = 8$ となります。

したがって、$\sqrt{A^2 - B} = \sqrt{2^2 - 8} = \sqrt{4 - 8} = \sqrt{-4}$ となり、これは虚数です。

しかし、$\sqrt{2 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{2(1+\sqrt{2})}$ なので、これ以上簡単にできません。

3. 最終的な答え

$\sqrt{2 + 2\sqrt{2}}$