与えられたLCR直列回路の微分方程式 $LCv_o''(t) + RCv_o'(t) + v_o(t) = v_i(t)$ に対して、初期条件 $v_o(0) = 0$ および $v_o'(0) = 0$ の下で、以下の二つの場合について、コンデンサの端子間電圧 $v_o(t)$ を $t$ の式で表す問題です。 (1) $v_i(t) = 10$ の場合 (a) $L=2, R=3, C=1$ (b) $L=1, R=2, C=1$ (c) $L=1, R=1, C=2$ (2) $v_i(t) = 10\sin(t)$ の場合 (a) $L=2, R=3, C=1$ (b) $L=1, R=2, C=1$ (c) $L=1, R=1, C=2$

1. 問題の内容

与えられたLCR直列回路の微分方程式 $LCv_o''(t) + RCv_o'(t) + v_o(t) = v_i(t)$ に対して、初期条件 $v_o(0) = 0$ および $v_o'(0) = 0$ の下で、以下の二つの場合について、コンデンサの端子間電圧 $v_o(t)$ を $t$ の式で表す問題です。

(1) $v_i(t) = 10$ の場合

(a) $L=2, R=3, C=1$

(b) $L=1, R=2, C=1$

(c) $L=1, R=1, C=2$

(2) $v_i(t) = 10\sin(t)$ の場合

(a) $L=2, R=3, C=1$

(b) $L=1, R=2, C=1$

(c) $L=1, R=1, C=2$

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式を解くためには、まず同次方程式の解を求め、次に非同次方程式の特殊解を求めます。そして、一般解を求め、初期条件を用いて定数を決定します。

(1) $v_i(t) = 10$ の場合

(a) $L=2, R=3, C=1$ のとき、微分方程式は $2v_o''(t) + 3v_o'(t) + v_o(t) = 10$ となります。

同次方程式 $2v_o''(t) + 3v_o'(t) + v_o(t) = 0$ の特性方程式は $2\lambda^2 + 3\lambda + 1 = 0$ であり、解は $\lambda = -1, -1/2$ です。

したがって、同次方程式の一般解は $v_{o,h}(t) = c_1 e^{-t} + c_2 e^{-t/2}$ となります。

特殊解を $v_{o,p}(t) = A$ と仮定すると、$v_o''(t) = 0$ および $v_o'(t) = 0$ となり、$A = 10$ となります。

したがって、一般解は $v_o(t) = c_1 e^{-t} + c_2 e^{-t/2} + 10$ となります。

初期条件 $v_o(0) = 0$ より、$c_1 + c_2 + 10 = 0$ となり、$c_1 + c_2 = -10$。

$v_o'(t) = -c_1 e^{-t} - \frac{1}{2}c_2 e^{-t/2}$ であり、初期条件 $v_o'(0) = 0$ より、$-c_1 - \frac{1}{2}c_2 = 0$ となり、$c_2 = -2c_1$。

これらを解くと、$c_1 = 10, c_2 = -20$。

したがって、$v_o(t) = 10e^{-t} - 20e^{-t/2} + 10 = 10(1 - 2e^{-t/2} + e^{-t})$.

$v_o(t) = 10(1-e^{-t/2})^2$

(b) $L=1, R=2, C=1$ のとき、微分方程式は $v_o''(t) + 2v_o'(t) + v_o(t) = 10$ となります。

同次方程式 $v_o''(t) + 2v_o'(t) + v_o(t) = 0$ の特性方程式は $\lambda^2 + 2\lambda + 1 = 0$ であり、解は $\lambda = -1$ (重解) です。

したがって、同次方程式の一般解は $v_{o,h}(t) = c_1 e^{-t} + c_2 t e^{-t}$ となります。

特殊解を $v_{o,p}(t) = A$ と仮定すると、$v_o''(t) = 0$ および $v_o'(t) = 0$ となり、$A = 10$ となります。

したがって、一般解は $v_o(t) = c_1 e^{-t} + c_2 t e^{-t} + 10$ となります。

初期条件 $v_o(0) = 0$ より、$c_1 + 10 = 0$ となり、$c_1 = -10$。

$v_o'(t) = -c_1 e^{-t} + c_2 e^{-t} - c_2 t e^{-t}$ であり、初期条件 $v_o'(0) = 0$ より、$-c_1 + c_2 = 0$ となり、$c_2 = c_1 = -10$。

したがって、$v_o(t) = -10e^{-t} - 10t e^{-t} + 10 = 10(1 - e^{-t} - t e^{-t})$.

$v_o(t) = 10(1 - (1+t)e^{-t})$

(c) $L=1, R=1, C=2$ のとき、微分方程式は $2v_o''(t) + v_o'(t) + v_o(t) = 10$ となります。

同次方程式 $2v_o''(t) + v_o'(t) + v_o(t) = 0$ の特性方程式は $2\lambda^2 + \lambda + 1 = 0$ であり、解は $\lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 8}}{4} = \frac{-1 \pm i\sqrt{7}}{4}$ です。

したがって、同次方程式の一般解は $v_{o,h}(t) = e^{-t/4} (c_1 \cos(\frac{\sqrt{7}}{4}t) + c_2 \sin(\frac{\sqrt{7}}{4}t))$ となります。

特殊解を $v_{o,p}(t) = A$ と仮定すると、$v_o''(t) = 0$ および $v_o'(t) = 0$ となり、$A = 10$ となります。

したがって、一般解は $v_o(t) = e^{-t/4} (c_1 \cos(\frac{\sqrt{7}}{4}t) + c_2 \sin(\frac{\sqrt{7}}{4}t)) + 10$ となります。

初期条件 $v_o(0) = 0$ より、$c_1 + 10 = 0$ となり、$c_1 = -10$。

$v_o'(t) = -\frac{1}{4}e^{-t/4} (c_1 \cos(\frac{\sqrt{7}}{4}t) + c_2 \sin(\frac{\sqrt{7}}{4}t)) + e^{-t/4} (-\frac{\sqrt{7}}{4}c_1 \sin(\frac{\sqrt{7}}{4}t) + \frac{\sqrt{7}}{4}c_2 \cos(\frac{\sqrt{7}}{4}t))$ であり、初期条件 $v_o'(0) = 0$ より、$-\frac{1}{4}c_1 + \frac{\sqrt{7}}{4}c_2 = 0$ となり、$c_2 = \frac{1}{\sqrt{7}}c_1 = -\frac{10}{\sqrt{7}}$。

したがって、$v_o(t) = e^{-t/4} (-10 \cos(\frac{\sqrt{7}}{4}t) - \frac{10}{\sqrt{7}} \sin(\frac{\sqrt{7}}{4}t)) + 10$.

(2) $v_i(t) = 10\sin(t)$ の場合

(a) $L=2, R=3, C=1$ のとき、微分方程式は $2v_o''(t) + 3v_o'(t) + v_o(t) = 10\sin(t)$ となります。

(b) $L=1, R=2, C=1$ のとき、微分方程式は $v_o''(t) + 2v_o'(t) + v_o(t) = 10\sin(t)$ となります。

(c) $L=1, R=1, C=2$ のとき、微分方程式は $2v_o''(t) + v_o'(t) + v_o(t) = 10\sin(t)$ となります。

(2a)

まず、同次方程式の解は(1a)と同様に$v_{o,h}(t) = c_1e^{-t} + c_2e^{-t/2}$.

$v_{o,p}(t) = A\sin(t) + B\cos(t)$ と仮定.

$v_o'(t) = A\cos(t) - B\sin(t)$

$v_o''(t) = -A\sin(t) - B\cos(t)$

$2(-A\sin(t) - B\cos(t)) + 3(A\cos(t) - B\sin(t)) + A\sin(t) + B\cos(t) = 10\sin(t)$

$(-2A-3B+A)\sin(t) + (-2B+3A+B)\cos(t) = 10\sin(t)$

$(-A-3B)\sin(t) + (3A-B)\cos(t) = 10\sin(t)$

$-A-3B = 10$

$3A-B = 0 \implies B = 3A$

$-A - 9A = 10 \implies -10A = 10 \implies A = -1, B = -3$

$v_{o,p}(t) = -\sin(t) - 3\cos(t)$.

$v_o(t) = c_1e^{-t} + c_2e^{-t/2} - \sin(t) - 3\cos(t)$.

$v_o(0) = 0 = c_1+c_2 -3 \implies c_1+c_2 = 3$

$v_o'(t) = -c_1e^{-t} - \frac{1}{2}c_2e^{-t/2} - \cos(t) + 3\sin(t)$

$v_o'(0) = 0 = -c_1 - \frac{1}{2}c_2 -1 \implies c_1 + \frac{1}{2}c_2 = -1$

$c_2 = 3-c_1$

$c_1 + \frac{1}{2}(3-c_1) = -1$

$2c_1 + 3 - c_1 = -2 \implies c_1 = -5 \implies c_2 = 8$

$v_o(t) = -5e^{-t} + 8e^{-t/2} - \sin(t) - 3\cos(t)$.

3. 最終的な答え

(1)

(a) $v_o(t) = 10(1 - e^{-t/2})^2$

(b) $v_o(t) = 10(1 - (1+t)e^{-t})$

(c) $v_o(t) = e^{-t/4} (-10 \cos(\frac{\sqrt{7}}{4}t) - \frac{10}{\sqrt{7}} \sin(\frac{\sqrt{7}}{4}t)) + 10$

(2)

(a) $v_o(t) = -5e^{-t} + 8e^{-t/2} - \sin(t) - 3\cos(t)$

(b), (c)は計算が複雑になるため省略