与えられた速度-時間グラフに基づき、鉛直方向に運動する小球の運動について以下の問いに答えます。 (1) PからQまでの小球の運動状態を説明する選択肢を選びます。 (2) 時間 $t_1$ を初速度 $v_0$ と重力加速度 $g$ を用いて表します。 (3) PからQまでの小球の変位(向きと大きさ)を$v_0$を用いて求めます。 (4) PからRまでの小球の変位と、PからRまでの移動距離を、$v_0$を用いて求めます。

応用数学力学運動速度加速度変位グラフ
2025/8/12

1. 問題の内容

与えられた速度-時間グラフに基づき、鉛直方向に運動する小球の運動について以下の問いに答えます。
(1) PからQまでの小球の運動状態を説明する選択肢を選びます。
(2) 時間 t1t_1 を初速度 v0v_0 と重力加速度 gg を用いて表します。
(3) PからQまでの小球の変位(向きと大きさ)をv0v_0を用いて求めます。
(4) PからRまでの小球の変位と、PからRまでの移動距離を、v0v_0を用いて求めます。

2. 解き方の手順

(1) PからQの間では、速度が正から0に変化しているので、小球は上昇しており、速度は時間とともに小さくなっています。よって、選択肢イが正解です。
(2) 等加速度運動の式 v=v0gtv = v_0 - gt を用います。点Qでは v=0v=0 なので、
0=v0gt10 = v_0 - gt_1
これを t1t_1 について解くと、
t1=v0gt_1 = \frac{v_0}{g}
(3) PからQまでの変位は、v-tグラフのPからQまでの面積で表されます。これは三角形なので、面積は
12×v0×t1\frac{1}{2} \times v_0 \times t_1
(2)の結果を代入すると、
12×v0×v0g=v022g\frac{1}{2} \times v_0 \times \frac{v_0}{g} = \frac{v_0^2}{2g}
鉛直上向きを正としているので、変位は正の値であり、上向きに v022g\frac{v_0^2}{2g} となります。問題ではgを使用しないので、等加速度運動の公式、v2v02=2axv^2 - v_0^2 = 2axを使います。この問題では、v=0,a=g,x=変位v = 0, a = -g, x=変位 なので、0v02=2gx0 - v_0^2 = -2g x。したがって、x=v022gx = \frac{v_0^2}{2g}.
(4) PからRまでの変位は、v-tグラフのPからRまでの面積で表されます。PからQまでの面積はv022g\frac{v_0^2}{2g}、QからRまでの面積はv022g-\frac{v_0^2}{2g}となるので、PからRまでの面積は0となります。したがって、変位は0です。
移動距離は、PからQまでの距離とQからRまでの距離の和です。PからQまでの距離はv022g\frac{v_0^2}{2g}、QからRまでの距離もv022g\frac{v_0^2}{2g}なので、移動距離は
v022g+v022g=v02g\frac{v_0^2}{2g} + \frac{v_0^2}{2g} = \frac{v_0^2}{g}

3. 最終的な答え

(1) イ
(2) t1=v0gt_1 = \frac{v_0}{g}
(3) 変位: v022g\frac{v_0^2}{2g} (上向き)
(4) 変位: 0
移動距離: v02g\frac{v_0^2}{g}

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