死体の温度変化に関する問題です。 死亡時刻から $t$ 時間後の体温を求める式が与えられています。 $$ \text{t時間後の体温} = (\text{死亡時の体温} - \text{室温}) \times a^t + \text{室温} $$ ここで、$a$ は体温低下の割合、$t$ は時間です。 死亡時の体温は平熱（36.5℃）と同じと仮定し、室温は20℃です。 1回目の体温測定は30℃、2回目の体温測定は28℃で、1回目と2回目の測定の間隔は1時間です。 これらの情報から、$a$ の値を求め、さらに死亡時刻から各測定時間までの時間 $t$ を求めることが目標です。

1. 問題の内容

死体の温度変化に関する問題です。

死亡時刻から $t$ 時間後の体温を求める式が与えられています。

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\text{t時間後の体温} = (\text{死亡時の体温} - \text{室温}) \times a^t + \text{室温}

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ここで、$a$ は体温低下の割合、$t$ は時間です。

死亡時の体温は平熱（36.5℃）と同じと仮定し、室温は20℃です。

1回目の体温測定は30℃、2回目の体温測定は28℃で、1回目と2回目の測定の間隔は1時間です。

これらの情報から、$a$ の値を求め、さらに死亡時刻から各測定時間までの時間 $t$ を求めることが目標です。

2. 解き方の手順

(1) 1回目の測定(30℃)に関する方程式を作ります。

死亡時刻から $t$ 時間後の体温が30℃なので、

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30 = (36.5 - 20) \times a^t + 20

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10 = 16.5 \times a^t

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a^t = \frac{10}{16.5} = \frac{20}{33} \quad ...(1)

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(2) 2回目の測定(28℃)に関する方程式を作ります。

2回目の測定は1回目の測定から1時間後なので、死亡時刻から $t+1$ 時間後の体温が28℃です。

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28 = (36.5 - 20) \times a^{t+1} + 20

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8 = 16.5 \times a^{t+1}

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a^{t+1} = \frac{8}{16.5} = \frac{16}{33} \quad ...(2)

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(3) (1)と(2)の式から、$a$ の値を求めます。

(2)式を(1)式で割ると、

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\frac{a^{t+1}}{a^t} = \frac{\frac{16}{33}}{\frac{20}{33}}

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a = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0.8

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(4) 求めた $a$ の値を(1)式に代入して、$t$ についての方程式を作ります。

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(0.8)^t = \frac{20}{33}

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両辺の対数をとると、

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t \log(0.8) = \log(\frac{20}{33})

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t = \frac{\log(\frac{20}{33})}{\log(0.8)}

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t = \frac{\log(20) - \log(33)}{\log(0.8)} \approx \frac{1.301 - 1.519}{-0.097} \approx \frac{-0.218}{-0.097} \approx 2.247

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(5) したがって、死亡時刻は約 $2.247$ 時間前となります。

3. 最終的な答え

(1回目)①: $30 = (36.5 - 20) \times a^t + 20$

(2回目)②: $28 = (36.5 - 20) \times a^{t+1} + 20$

$a = 0.8$

$t = \frac{\log(\frac{20}{33})}{\log(0.8)} \approx 2.247$

死亡時刻は約 $2.247$ 時間前