濃度20%の食塩水12kgが入った容器から、まず$x$ kgの食塩水をくみ出し、同量の水を戻します。次に、さらに$2x$ kgの食塩水をくみ出し、また同量の水を戻したところ、容器の中の食塩水の濃度が7.5%になった。このとき、$x$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

濃度20%の食塩水12kgが入った容器から、まず$x$ kgの食塩水をくみ出し、同量の水を戻します。次に、さらに$2x$ kgの食塩水をくみ出し、また同量の水を戻したところ、容器の中の食塩水の濃度が7.5%になった。このとき、$x$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、初めに$x$ kgの食塩水をくみ出した後の食塩水の量を考えます。

$x$ kgくみ出したので、残りの食塩水は$(12 - x)$ kgです。

この中に含まれる塩の量は、元の食塩水に含まれる塩の量から、$x$ kgに含まれる塩の量を引いたものになります。

元の食塩水に含まれる塩の量は $12 \times 0.2 = 2.4$ kgです。

$x$ kgの食塩水に含まれる塩の量は $0.2x$ kgです。

したがって、残りの$(12 - x)$ kgの食塩水に含まれる塩の量は、$2.4 - 0.2x$ kgです。

その後、同量の水を戻したので、食塩水の量は再び12 kgに戻ります。このときの濃度は、

$\frac{2.4 - 0.2x}{12}$ となります。

次に、この12 kgの食塩水から、$2x$ kgの食塩水をくみ出します。

くみ出した食塩水に含まれる塩の量は、

$\frac{2.4 - 0.2x}{12} \times 2x = \frac{(2.4 - 0.2x)2x}{12}$ kgです。

残りの食塩水に含まれる塩の量は、

$2.4 - 0.2x - \frac{(2.4 - 0.2x)2x}{12}$ kgです。

そして、再び同量の水を戻すので、食塩水の量は12 kgに戻ります。

このときの濃度が7.5%、つまり0.075なので、

$\frac{2.4 - 0.2x - \frac{(2.4 - 0.2x)2x}{12}}{12} = 0.075$

これを解きます。

$2.4 - 0.2x - \frac{(2.4 - 0.2x)2x}{12} = 12 \times 0.075 = 0.9$

$2.4 - 0.2x - \frac{4.8x - 0.4x^2}{12} = 0.9$

両辺に12をかけます。

$12(2.4 - 0.2x) - (4.8x - 0.4x^2) = 12 \times 0.9$

$28.8 - 2.4x - 4.8x + 0.4x^2 = 10.8$

$0.4x^2 - 7.2x + 18 = 0$

両辺に10をかけます。

$4x^2 - 72x + 180 = 0$

両辺を4で割ります。

$x^2 - 18x + 45 = 0$

$(x - 3)(x - 15) = 0$

$x = 3, 15$

$2x$ kgくみ出すので、$2x \le 12$, したがって$x \le 6$

したがって、$x = 3$。

3. 最終的な答え

$x = 3$