三角形ABCにおいて、$AB = 4$, $AC = 3$, $\angle A = 60^\circ$である。$\angle A$の二等分線と辺BCの交点をDとするとき、$AD$の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 4$, $AC = 3$, $\angle A = 60^\circ$である。$\angle A$の二等分線と辺BCの交点をDとするとき、$AD$の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて辺$BC$の長さを求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos A$

$BC^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \times 4 \times 3 \times \cos 60^\circ$

$BC^2 = 16 + 9 - 24 \times \frac{1}{2}$

$BC^2 = 25 - 12 = 13$

$BC = \sqrt{13}$

次に、角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 4:3$

したがって、$BD = \frac{4}{4+3}BC = \frac{4}{7}\sqrt{13}$

$DC = \frac{3}{4+3}BC = \frac{3}{7}\sqrt{13}$

三角形ABDの面積を$S_1$, 三角形ADCの面積を$S_2$とすると、三角形ABCの面積Sは、$S = S_1 + S_2$である。

$S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \times \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \times 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

$S_1 = \frac{1}{2} \times AB \times AD \times \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \times 4 \times AD \times \frac{1}{2} = AD$

$S_2 = \frac{1}{2} \times AC \times AD \times \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \times 3 \times AD \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}AD$

$S = S_1 + S_2$より、

$3\sqrt{3} = AD + \frac{3}{4}AD = \frac{7}{4}AD$

$AD = \frac{4}{7} \times 3\sqrt{3} = \frac{12\sqrt{3}}{7}$

3. 最終的な答え

$AD = \frac{12\sqrt{3}}{7}$