与えられた組み合わせの値を計算する問題です。組み合わせは $nCr$ の形で表され、$n$ 個のものから $r$ 個を選ぶ場合の数を意味します。具体的には、以下の5つの組み合わせの値を求めます。 (1) $7C2$ (2) $6C3$ (3) $10C4$ (4) $8C1$ (5) $5C5$

1. 問題の内容

与えられた組み合わせの値を計算する問題です。組み合わせは $nCr$ の形で表され、$n$ 個のものから $r$ 個を選ぶ場合の数を意味します。具体的には、以下の5つの組み合わせの値を求めます。

(1) $7C2$

(2) $6C3$

(3) $10C4$

(4) $8C1$

(5) $5C5$

2. 解き方の手順

組み合わせ $nCr$ は、以下の公式で計算できます。

$nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

ここで、$n!$ は $n$ の階乗を表し、$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1$ です。

各問題について、この公式を適用して計算します。

(1) $7C2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6 \times 5!}{2 \times 1 \times 5!} = \frac{7 \times 6}{2} = 7 \times 3 = 21$

(2) $6C3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3 \times 2 \times 1 \times 3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 4 = 20$

(3) $10C4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

(4) $8C1 = \frac{8!}{1!(8-1)!} = \frac{8!}{1!7!} = \frac{8 \times 7!}{1 \times 7!} = 8$

（一般に、$nC1 = n$ です。）

(5) $5C5 = \frac{5!}{5!(5-5)!} = \frac{5!}{5!0!} = \frac{5!}{5! \times 1} = 1$

（一般に、$nCn = 1$ です。また、$0! = 1$ と定義します。）

3. 最終的な答え

(1) $7C2 = 21$

(2) $6C3 = 20$

(3) $10C4 = 210$

(4) $8C1 = 8$

(5) $5C5 = 1$