問題１： 2桁の整数があり、各位の数字の和は13である。十の位の数と一の位の数を入れ替えると、元の整数よりも45だけ大きくなる。元の整数の十の位の数を $x$、一の位の数を $y$ として、方程式を作り、元の数を求めよ。 問題２： 1個30円の菓子と1個40円の菓子を混ぜて20個買い、20円の箱に入れてもらったところ、代金は700円であった。30円と40円の菓子をそれぞれ何個買ったか。1個30円の菓子を $x$ 個、1個40円の菓子を $y$ 個買ったとして、個数と代金について、方程式を作って解け。

1. 問題の内容

問題１：

2桁の整数があり、各位の数字の和は13である。十の位の数と一の位の数を入れ替えると、元の整数よりも45だけ大きくなる。元の整数の十の位の数を $x$、一の位の数を $y$ として、方程式を作り、元の数を求めよ。

問題２：

1個30円の菓子と1個40円の菓子を混ぜて20個買い、20円の箱に入れてもらったところ、代金は700円であった。30円と40円の菓子をそれぞれ何個買ったか。1個30円の菓子を $x$ 個、1個40円の菓子を $y$ 個買ったとして、個数と代金について、方程式を作って解け。

2. 解き方の手順

問題１：

元の2桁の整数は $10x + y$ と表せる。

入れ替えた整数は $10y + x$ と表せる。

問題文より、

$x + y = 13$ ...(1)

$10y + x = 10x + y + 45$ ...(2)

(2)式を整理すると、

$9y - 9x = 45$

$y - x = 5$ ...(3)

(1) + (3)より、

$2y = 18$

$y = 9$

(1)に代入して、

$x + 9 = 13$

$x = 4$

よって、元の整数は $10x + y = 10(4) + 9 = 49$

問題２：

個数について、

$x + y = 20$ ...(1)

代金について、

$30x + 40y + 20 = 700$

$30x + 40y = 680$ ...(2)

(2)式を10で割ると

$3x + 4y = 68$ ...(3)

(1)式を3倍して

$3x + 3y = 60$ ...(4)

(3) - (4)より、

$y = 8$

(1)に代入して、

$x + 8 = 20$

$x = 12$

よって、30円の菓子は12個、40円の菓子は8個。

3. 最終的な答え

問題１：49

問題２：30円の菓子は12個、40円の菓子は8個