$\sqrt{21}$ の整数部分を $a$ とする。$\sqrt{21}$, $\sqrt{23}$, $\sqrt{31}$ の小数部分をそれぞれ $a$, $b$, $c$ とするとき、 $a - c$ の値、$(1 + \sqrt{21} - \sqrt{31})(1 + \sqrt{21} + \sqrt{31})(9 + 2\sqrt{21})$ の値を求め、a, b, c の大小関係を決定する。

1. 問題の内容

$\sqrt{21}$ の整数部分を $a$ とする。$\sqrt{21}$, $\sqrt{23}$, $\sqrt{31}$ の小数部分をそれぞれ $a$, $b$, $c$ とするとき、

$a - c$ の値、$(1 + \sqrt{21} - \sqrt{31})(1 + \sqrt{21} + \sqrt{31})(9 + 2\sqrt{21})$ の値を求め、a, b, c の大小関係を決定する。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{21}$ の整数部分を求める。$4^2 = 16 < 21 < 25 = 5^2$ より、$\sqrt{21}$ の整数部分は 4 である。つまり、$a=4$。

次に、$a-c$ を求める。$a$ は $\sqrt{21}$ の小数部分、$c$ は $\sqrt{31}$ の小数部分なので、

$a = \sqrt{21} - 4$、 $c = \sqrt{31} - 5$。

したがって、

$a - c = (\sqrt{21} - 4) - (\sqrt{31} - 5) = \sqrt{21} - \sqrt{31} + 1$

次に、$(1 + \sqrt{21} - \sqrt{31})(1 + \sqrt{21} + \sqrt{31})(9 + 2\sqrt{21})$ を計算する。

$(1 + \sqrt{21} - \sqrt{31})(1 + \sqrt{21} + \sqrt{31}) = (1 + \sqrt{21})^2 - (\sqrt{31})^2 = 1 + 2\sqrt{21} + 21 - 31 = 2\sqrt{21} - 9$

したがって、

$(2\sqrt{21} - 9)(9 + 2\sqrt{21}) = (2\sqrt{21})^2 - 9^2 = 4(21) - 81 = 84 - 81 = 3$

最後に、$a$, $b$, $c$ の大小関係を求める。

$a = \sqrt{21} - 4$

$b = \sqrt{23} - 4$

$c = \sqrt{31} - 5$

$21 < 23$ より $\sqrt{21} < \sqrt{23}$ なので、 $a < b$。

$c = \sqrt{31} - 5 = \sqrt{31} - \sqrt{25}$

$a = \sqrt{21} - 4 = \sqrt{21} - \sqrt{16}$

$aとcの大小比較$

$a=\sqrt{21}-4$

$c=\sqrt{31}-5$

$a+4=\sqrt{21}$

$c+5=\sqrt{31}$

$(a+4)^2 = 21$

$(c+5)^2 = 31$

$a^2+8a+16 = 21 \implies a^2+8a-5=0$

$c^2+10c+25 = 31 \implies c^2+10c-6=0$

$a<b$は明白。$a=\sqrt{21}-4, b=\sqrt{23}-4, c=\sqrt{31}-5$

$a \approx 4.58 - 4 = 0.58$

$b \approx 4.80 - 4 = 0.80$

$c \approx 5.57 - 5 = 0.57$

したがって、$c < a < b$

3. 最終的な答え

ア: 4

イ: $\sqrt{21} - \sqrt{31} + 1$

ウ: 3

エ: (2) $c < a < b$