$P(x) = x^3 - x^2 + (2 - 4a^2)x + 5a$ (aは正の定数)とする。 (1) $x = 1 + i$ のとき、$x^2 - 2x$ の値を求めよ。 (2) $x = 1 + i$ のときの $P(x)$ の値を $a$ を用いて表せ。 (3) $P(1 + i)$ が実数 $k$ となる $a$ の値を求めよ。このとき、方程式 $P(x) = k$ の3つの解を $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ とする。$\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4$ の値を求めよ。また、$n$ を自然数とするとき、$\alpha^{4n} + \beta^{4n} + \gamma^{4n}$ を $n$ を用いて表せ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$P(x) = x^3 - x^2 + (2 - 4a^2)x + 5a$ (aは正の定数)とする。

(1) $x = 1 + i$ のとき、$x^2 - 2x$ の値を求めよ。

(2) $x = 1 + i$ のときの $P(x)$ の値を $a$ を用いて表せ。

(3) $P(1 + i)$ が実数 $k$ となる $a$ の値を求めよ。このとき、方程式 $P(x) = k$ の3つの解を $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ とする。$\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4$ の値を求めよ。また、$n$ を自然数とするとき、$\alpha^{4n} + \beta^{4n} + \gamma^{4n}$ を $n$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) $x = 1 + i$ のとき、$x^2 - 2x$ の値を求める。

$x^2 = (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$

$2x = 2(1 + i) = 2 + 2i$

$x^2 - 2x = 2i - (2 + 2i) = -2$

(2) $x = 1 + i$ のときの $P(x)$ の値を $a$ を用いて表す。

$P(x) = x^3 - x^2 + (2 - 4a^2)x + 5a$

$x = 1 + i$ より

$x^2 = 2i$ (上記(1)より)

$x^3 = x \cdot x^2 = (1 + i)(2i) = 2i + 2i^2 = -2 + 2i$

$P(1 + i) = (-2 + 2i) - 2i + (2 - 4a^2)(1 + i) + 5a$

$= -2 + 2i - 2i + 2 + 2i - 4a^2 - 4a^2 i + 5a$

$= (5a - 4a^2) + (2 - 4a^2)i$

(3) $P(1 + i)$ が実数 $k$ となる $a$ の値を求める。

$P(1 + i) = (5a - 4a^2) + (2 - 4a^2)i$ が実数なので、虚部が0になる。

$2 - 4a^2 = 0$

$4a^2 = 2$

$a^2 = \frac{1}{2}$

$a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$a$ は正の定数なので、$a = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

このとき、

$k = P(1 + i) = 5a - 4a^2 = 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} - 2$

方程式 $P(x) = k$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とする。

$P(x) - k = x^3 - x^2 + (2 - 4a^2)x + 5a - k = 0$

$a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$4a^2 = 2$ であり、$5a = \frac{5\sqrt{2}}{2}$ であり、$k = \frac{5\sqrt{2}}{2} - 2$ であるから、

$P(x) - k = x^3 - x^2 + (2 - 2)x + \frac{5\sqrt{2}}{2} - (\frac{5\sqrt{2}}{2} - 2) = x^3 - x^2 + 2 = 0$

$x^3 - x^2 + 2 = (x + 1)(x^2 - 2x + 2) = 0$

よって、解は $x = -1, 1 + i, 1 - i$

$\alpha, \beta, \gamma$ は $-1, 1 + i, 1 - i$ のいずれかである。

$\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4$ を求める。

$\alpha^4 = (-1)^4 = 1$

$\beta^4 = (1 + i)^4 = ((1 + i)^2)^2 = (2i)^2 = -4$

$\gamma^4 = (1 - i)^4 = ((1 - i)^2)^2 = (-2i)^2 = -4$

$\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4 = 1 - 4 - 4 = -7$

$\alpha^{4n} + \beta^{4n} + \gamma^{4n}$ を $n$ を用いて表す。

$\alpha^{4n} = ((-1)^4)^n = 1^n = 1$

$\beta^{4n} = ((1 + i)^4)^n = (-4)^n$

$\gamma^{4n} = ((1 - i)^4)^n = (-4)^n$

$\alpha^{4n} + \beta^{4n} + \gamma^{4n} = 1 + (-4)^n + (-4)^n = 1 + 2(-4)^n$

3. 最終的な答え

(1) $-2$

(2) $(5a - 4a^2) + (2 - 4a^2)i$

(3) $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4 = -7$, $\alpha^{4n} + \beta^{4n} + \gamma^{4n} = 1 + 2(-4)^n$