整式 $x^3 - 3x^2 + x + 3$ を整式 $A$ で割ると、商が $x^2 - x - 1$ で、余りが $1$ となる。整式 $A$ を求める。

1. 問題の内容

整式 $x^3 - 3x^2 + x + 3$ を整式 $A$ で割ると、商が $x^2 - x - 1$ で、余りが $1$ となる。整式 $A$ を求める。

2. 解き方の手順

割り算の基本式を適用する。割られる数 = 割る数 × 商 + 余り。

この問題では、

$x^3 - 3x^2 + x + 3 = A \times (x^2 - x - 1) + 1$

この式から $A$ を求める。まず、余りの $1$ を左辺に移項する。

$x^3 - 3x^2 + x + 3 - 1 = A \times (x^2 - x - 1)$

$x^3 - 3x^2 + x + 2 = A \times (x^2 - x - 1)$

次に、$A$ を求めるために、両辺を $(x^2 - x - 1)$ で割る。

$A = \frac{x^3 - 3x^2 + x + 2}{x^2 - x - 1}$

ここで、多項式の割り算を行う。

\begin{array}{c|cc cc} \multicolumn{2}{r}{x} & -2 \\ \cline{2-5} x^2-x-1 & x^3 & -3x^2 & +x & +2 \\ \multicolumn{2}{r}{x^3} & -x^2 & -x \\ \cline{2-4} \multicolumn{2}{r}{0} & -2x^2 & +2x & +2 \\ \multicolumn{2}{r}{} & -2x^2 & +2x & +2 \\ \cline{3-5} \multicolumn{2}{r}{} & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}

したがって、$A = x - 2$

3. 最終的な答え

$A = x - 2$