2次方程式 $ax^2 - (a+1)x - a - 3 = 0$ が、$-1 < x < 0$ と $1 < x < 2$ の範囲にそれぞれ1つの実数解をもつように、定数 $a$ の値の範囲を定める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $ax^2 - (a+1)x - a - 3 = 0$ が、$-1 < x < 0$ と $1 < x < 2$ の範囲にそれぞれ1つの実数解をもつように、定数 $a$ の値の範囲を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = ax^2 - (a+1)x - a - 3$ とおきます。問題の条件を満たすためには、$y = f(x)$ のグラフが $-1 < x < 0$ と $1 < x < 2$ の範囲でそれぞれ $x$ 軸と交わる必要があります。これは以下の条件で言い換えられます。

* $f(-1)$ と $f(0)$ が異符号である。つまり、$f(-1)f(0) < 0$。

* $f(1)$ と $f(2)$ が異符号である。つまり、$f(1)f(2) < 0$。

これらの条件を順番に計算します。

まず、$f(-1) = a(-1)^2 - (a+1)(-1) - a - 3 = a + (a+1) - a - 3 = a - 2$

そして、$f(0) = a(0)^2 - (a+1)(0) - a - 3 = -a - 3$

したがって、$f(-1)f(0) = (a-2)(-a-3) < 0$

これは、$(a-2)(a+3) > 0$ と同値なので、$a < -3$ または $a > 2$。

次に、$f(1) = a(1)^2 - (a+1)(1) - a - 3 = a - a - 1 - a - 3 = -a - 4$

そして、$f(2) = a(2)^2 - (a+1)(2) - a - 3 = 4a - 2a - 2 - a - 3 = a - 5$

したがって、$f(1)f(2) = (-a-4)(a-5) < 0$

これは、$(a+4)(a-5) > 0$ と同値なので、$a < -4$ または $a > 5$。

以上の2つの条件を同時に満たす $a$ の範囲を求めます。

$a < -3$ または $a > 2$ であり、$a < -4$ または $a > 5$ です。

数直線を書くと、$a < -4$ または $a > 5$ が共通範囲であることが分かります。

3. 最終的な答え

$a < -4$ または $a > 5$