与えられた関数 $f(x) = x^3 - x^2 + 3x + 1$ を微分して導関数 $f'(x)$ を求め、さらに $f'(-2)$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = x^3 - x^2 + 3x + 1$ を微分して導関数 $f'(x)$ を求め、さらに $f'(-2)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = x^3 - x^2 + 3x + 1$ を微分します。

各項を微分すると次のようになります。

- $(x^3)' = 3x^2$

- $(-x^2)' = -2x$

- $(3x)' = 3$

- $(1)' = 0$

したがって、$f'(x)$ は次のようになります。

$f'(x) = 3x^2 - 2x + 3$

(2) $f'(-2)$ の値を求めます。

$f'(x)$ に $x = -2$ を代入すると、

$f'(-2) = 3(-2)^2 - 2(-2) + 3$

$= 3(4) + 4 + 3$

$= 12 + 4 + 3$

$= 19$

3. 最終的な答え

$f'(x) = 3x^2 - 2x + 3$

$f'(-2) = 19$