(1) 関数 $f(x) = ax + b$ が与えられており、$f(1) = 2$ かつ $f(3) = 8$ である。定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。 (2) 関数 $y = ax + b$ ($-2 \le x \le 1$) の値域が $-1 \le y \le 5$ となるように、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。ただし、$a < 0$ とする。

## 問題31

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = ax + b$ が与えられており、$f(1) = 2$ かつ $f(3) = 8$ である。定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

(2) 関数 $y = ax + b$ ($-2 \le x \le 1$) の値域が $-1 \le y \le 5$ となるように、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。ただし、$a < 0$ とする。

2. 解き方の手順

(1)

$f(1) = 2$ より、

$a(1) + b = 2$

$a + b = 2$ ...(1)

$f(3) = 8$ より、

$a(3) + b = 8$

$3a + b = 8$ ...(2)

(2) - (1) より、

$(3a + b) - (a + b) = 8 - 2$

$2a = 6$

$a = 3$

(1) に代入して、

$3 + b = 2$

$b = -1$

(2)

$a < 0$ より、$x$ が増加すると $y$ は減少する。

よって、$x = -2$ のとき $y = 5$、$x = 1$ のとき $y = -1$ となる。

$x = -2$ のとき $y = 5$ より、

$-2a + b = 5$ ...(3)

$x = 1$ のとき $y = -1$ より、

$a + b = -1$ ...(4)

(3) - (4) より、

$(-2a + b) - (a + b) = 5 - (-1)$

$-3a = 6$

$a = -2$

(4) に代入して、

$-2 + b = -1$

$b = 1$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3, b = -1$

(2) $a = -2, b = 1$