以下の問題を解きます。 (1) $(-2xy^2)^3 x^2$ を計算する。 (2) $|\sqrt{5}-2|$ の絶対値記号をはずす。 (3) $\sqrt{(-3)^2}$ の値を求める。 (4) $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ の分母を有理化する。 (5) 1次不等式 $3x-4 \ge 5x+6$ の解を求める。 (6) 連立不等式 $\begin{cases} 6x+9 > 2x+1 \\ 3x-7 \ge 8x-12 \end{cases}$ の解を求める。 (7) $x$ は実数とする。「$x^2=11$」は「$x=\sqrt{11}$」であるための必要条件または十分条件を答える。

1. 問題の内容

以下の問題を解きます。

(1) $(-2xy^2)^3 x^2$ を計算する。

(2) $|\sqrt{5}-2|$ の絶対値記号をはずす。

(3) $\sqrt{(-3)^2}$ の値を求める。

(4) $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ の分母を有理化する。

(5) 1次不等式 $3x-4 \ge 5x+6$ の解を求める。

(6) 連立不等式 $\begin{cases} 6x+9 > 2x+1 \\ 3x-7 \ge 8x-12 \end{cases}$ の解を求める。

(7) $x$ は実数とする。「$x^2=11$」は「$x=\sqrt{11}$」であるための必要条件または十分条件を答える。

2. 解き方の手順

(1) $(-2xy^2)^3 x^2$ の計算

$(-2xy^2)^3 = (-2)^3 x^3 (y^2)^3 = -8x^3 y^6$

$(-2xy^2)^3 x^2 = -8x^3 y^6 x^2 = -8x^5 y^6$

(2) $|\sqrt{5}-2|$ の絶対値記号をはずす

$\sqrt{5} \approx 2.236$ であるから $\sqrt{5} - 2 > 0$

$|\sqrt{5}-2| = \sqrt{5} - 2$

(3) $\sqrt{(-3)^2}$ の値を求める

$\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$

(4) $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ の分母を有理化する

$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

(5) 1次不等式 $3x-4 \ge 5x+6$ の解を求める

$3x - 4 \ge 5x + 6$

$-2x \ge 10$

$x \le -5$

(6) 連立不等式 $\begin{cases} 6x+9 > 2x+1 \\ 3x-7 \ge 8x-12 \end{cases}$ の解を求める

$6x + 9 > 2x + 1 \implies 4x > -8 \implies x > -2$

$3x - 7 \ge 8x - 12 \implies -5x \ge -5 \implies x \le 1$

$-2 < x \le 1$

(7) $x$ は実数とする。「$x^2=11$」は「$x=\sqrt{11}$」であるための必要条件または十分条件

$x^2 = 11$ ならば $x = \pm \sqrt{11}$ である。

したがって、「$x^2 = 11$」は「$x = \sqrt{11}$」であるための十分条件ではない。

逆に、$x = \sqrt{11}$ ならば $x^2 = 11$ である。

したがって、「$x^2 = 11$」は「$x = \sqrt{11}$」であるための必要条件である。

よって、必要条件であるが十分条件ではない。

3. 最終的な答え

(1) $-8x^5y^6$

(2) $\sqrt{5}-2$

(3) $3$

(4) $2-\sqrt{3}$

(5) $x \le -5$

(6) $-2 < x \le 1$

(7) ②