問題は2つあります。 (1) 関数 $y = \frac{1}{3}x^2$ 上の点A, Bのx座標がそれぞれ-6, 6であり、線分AB上の点Qのx座標が点Pのx座標$a$と等しいとき、点Pのx座標$a$の範囲 $-2 \leq a \leq 3$ における線分PQの長さ$b$の範囲を求めます。 (2) 点Pのx座標が-3のとき、点Bと点Pを通る直線とy軸との交点Rの座標を求めます。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 関数 $y = \frac{1}{3}x^2$ 上の点A, Bのx座標がそれぞれ-6, 6であり、線分AB上の点Qのx座標が点Pのx座標$a$と等しいとき、点Pのx座標$a$の範囲 $-2 \leq a \leq 3$ における線分PQの長さ$b$の範囲を求めます。

(2) 点Pのx座標が-3のとき、点Bと点Pを通る直線とy軸との交点Rの座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 線分ABの方程式を求めます。点A(-6, 12), B(6, 12)を通るので、線分ABはy = 12です。点Pは曲線 $y = \frac{1}{3}x^2$ 上にあるので、点Pの座標は $(a, \frac{1}{3}a^2)$ です。よって、線分PQの長さ$b$は、$b = 12 - \frac{1}{3}a^2$ となります。

$a$の範囲が $-2 \leq a \leq 3$ のとき、$b$の最大値を求めます。$b = 12 - \frac{1}{3}a^2$ は上に凸の放物線であるため、$a = 0$のとき最大値をとります。

$a = 0$のとき、$b = 12 - \frac{1}{3}(0)^2 = 12$ です。

次に、$b$の最小値を求めます。$a = -2$のとき、$b = 12 - \frac{1}{3}(-2)^2 = 12 - \frac{4}{3} = \frac{32}{3}$

$a = 3$のとき、$b = 12 - \frac{1}{3}(3)^2 = 12 - 3 = 9$

よって、$9 \leq b \leq 12$

(2) 点B(6, 12)と点Pのx座標が-3のとき、点Pのy座標は $y = \frac{1}{3}(-3)^2 = \frac{1}{3}(9) = 3$ なので、P(-3, 3)です。

点B(6, 12)と点P(-3, 3)を通る直線の方程式を求めます。

傾きは$\frac{12-3}{6-(-3)} = \frac{9}{9} = 1$なので、直線の方程式は $y = x + c$ の形になります。点B(6, 12)を通るので、$12 = 6 + c$より、$c = 6$となります。したがって、直線BPの方程式は $y = x + 6$ です。

点Rは直線BPとy軸との交点なので、x = 0を代入すると、$y = 0 + 6 = 6$。

よって、点Rの座標は(0, 6)です。

3. 最終的な答え

(1) $9 \leq b \leq 12$

(2) (0, 6)