直線 $(2k+1)x - (k-1)y + 3k = 0$ が $k$ の値に関わらず通る定点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $(2k+1)x - (k-1)y + 3k = 0$ が $k$ の値に関わらず通る定点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた直線の方程式を $k$ について整理します。

$(2k+1)x - (k-1)y + 3k = 0$ を展開すると、

$2kx + x - ky + y + 3k = 0$

$k$ でくくると、

$(2x - y + 3)k + (x + y) = 0$

この式が $k$ の値に関わらず成り立つためには、

$2x - y + 3 = 0$ かつ $x + y = 0$ である必要があります。

これら2つの式を連立方程式として解きます。

$x + y = 0$ より、 $y = -x$

これを $2x - y + 3 = 0$ に代入すると、

$2x - (-x) + 3 = 0$

$3x + 3 = 0$

$3x = -3$

$x = -1$

$y = -x = -(-1) = 1$

したがって、求める定点の座標は $(-1, 1)$ です。

3. 最終的な答え

$(-1, 1)$