放物線 $y = -\frac{1}{2}x^2$ 上の点Pについて、以下の2つの問いに答える問題です。 (1) 点Pのx座標を $a$、y座標を $b$ とするとき、$a$ の範囲が $-5 \le a \le 4$ のとき、$b$ の範囲を不等号で表してください。 (2) 点Pのx座標が正の数で、y座標が-18のとき、点Aと点Pを通る直線の式を求めてください。ただし、点Aは放物線上にあり、x座標は-2です。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

放物線 $y = -\frac{1}{2}x^2$ 上の点Pについて、以下の2つの問いに答える問題です。

(1) 点Pのx座標を $a$、y座標を $b$ とするとき、$a$ の範囲が $-5 \le a \le 4$ のとき、$b$ の範囲を不等号で表してください。

(2) 点Pのx座標が正の数で、y座標が-18のとき、点Aと点Pを通る直線の式を求めてください。ただし、点Aは放物線上にあり、x座標は-2です。

2. 解き方の手順

(1) $y = -\frac{1}{2}x^2$ において、$a$ の範囲 $-5 \le a \le 4$ のときの $b$ の範囲を求めます。

まず、$a = -5$ のとき、$b = -\frac{1}{2}(-5)^2 = -\frac{25}{2} = -12.5$ です。

次に、$a = 4$ のとき、$b = -\frac{1}{2}(4)^2 = -\frac{16}{2} = -8$ です。

また、$y = -\frac{1}{2}x^2$ は上に凸なグラフなので、頂点（原点）で最大値をとります。 $a$ の範囲 $-5 \le a \le 4$ に $a=0$ が含まれるため、$b$ の最大値は $b = -\frac{1}{2}(0)^2 = 0$ です。

したがって、$b$ の範囲は $-\frac{25}{2} \le b \le 0$ です。

(2) まず、点Aの座標を求めます。x座標は-2なので、$y = -\frac{1}{2}(-2)^2 = -2$。よって、点Aの座標は(-2, -2)です。

次に、点Pの座標を求めます。y座標は-18なので、$-18 = -\frac{1}{2}x^2$ を解くと、$x^2 = 36$ より、$x = \pm 6$ です。点Pのx座標は正の数なので、$x = 6$。よって、点Pの座標は(6, -18)です。

2点A(-2, -2), P(6, -18)を通る直線の式を $y = mx + n$ とします。

-2 = -2m + n

-18 = 6m + n

上の式から下の式を引くと、

-16 = 8m

m = -2

-2 = -2(-2) + n

-2 = 4 + n

n = -6

したがって、求める直線の式は $y = -2x - 6$ です。

3. 最終的な答え

(問1) $-\frac{25}{2} \le b \le 0$

(問2) $y = -2x - 6$