分数関数 $y = \frac{x+2}{x-1}$ と直線 $y = -2x + 3 + 2\sqrt{6}$ の交点を求める問題です。

1. 問題の内容

分数関数 $y = \frac{x+2}{x-1}$ と直線 $y = -2x + 3 + 2\sqrt{6}$ の交点を求める問題です。

2. 解き方の手順

交点を求めるためには、2つの式を連立させて解けば良いです。つまり、

$\frac{x+2}{x-1} = -2x + 3 + 2\sqrt{6}$

という方程式を解きます。

まず、両辺に $x-1$ をかけます。

$x+2 = (-2x + 3 + 2\sqrt{6})(x-1)$

$x+2 = -2x^2 + 2x + 3x - 3 + 2\sqrt{6}x - 2\sqrt{6}$

$x+2 = -2x^2 + (5 + 2\sqrt{6})x - (3 + 2\sqrt{6})$

次に、すべてを左辺に移動して整理します。

$2x^2 + x - (5 + 2\sqrt{6})x + 2 + 3 + 2\sqrt{6} = 0$

$2x^2 + (1 - 5 - 2\sqrt{6})x + 5 + 2\sqrt{6} = 0$

$2x^2 - (4 + 2\sqrt{6})x + 5 + 2\sqrt{6} = 0$

これは2次方程式なので、解の公式を用いて解を求めます。

解の公式は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ であり、この場合 $a=2, b = -(4+2\sqrt{6}), c = 5 + 2\sqrt{6}$ です。

$x = \frac{(4+2\sqrt{6}) \pm \sqrt{(4+2\sqrt{6})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (5 + 2\sqrt{6})}}{2 \cdot 2}$

$x = \frac{(4+2\sqrt{6}) \pm \sqrt{16 + 16\sqrt{6} + 24 - 40 - 16\sqrt{6}}}{4}$

$x = \frac{(4+2\sqrt{6}) \pm \sqrt{0}}{4}$

$x = \frac{4+2\sqrt{6}}{4}$

$x = \frac{2+\sqrt{6}}{2}$

$x$ の値が求まったので、$y$ の値を求めます。

$y = -2x + 3 + 2\sqrt{6}$ に $x = \frac{2+\sqrt{6}}{2}$ を代入します。

$y = -2(\frac{2+\sqrt{6}}{2}) + 3 + 2\sqrt{6}$

$y = -(2+\sqrt{6}) + 3 + 2\sqrt{6}$

$y = -2 - \sqrt{6} + 3 + 2\sqrt{6}$

$y = 1 + \sqrt{6}$

したがって、交点の座標は $(\frac{2+\sqrt{6}}{2}, 1+\sqrt{6})$ となります。

3. 最終的な答え

$(\frac{2+\sqrt{6}}{2}, 1+\sqrt{6})$