方程式 $70x + 23y = 1$ の全ての整数解を求める。

1. 問題の内容

方程式 $70x + 23y = 1$ の全ての整数解を求める。

2. 解き方の手順

まず、ユークリッドの互除法を用いて、70と23の最大公約数を求める。

$70 = 23 \times 3 + 1$

$23 = 1 \times 23 + 0$

よって、70と23の最大公約数は1である。

次に、$70x + 23y = 1$ の特殊解を求める。

ユークリッドの互除法の計算から、

$1 = 70 - 23 \times 3$

よって、$x = 1$、$y = -3$ は特殊解の一つである。

次に、一般解を求める。

$70x + 23y = 1$ と $70(1) + 23(-3) = 1$ の差をとると、

$70(x - 1) + 23(y + 3) = 0$

$70(x - 1) = -23(y + 3)$

70と23は互いに素なので、$x - 1$ は23の倍数であり、$y + 3$ は70の倍数である。

したがって、$x - 1 = 23k$、$y + 3 = -70k$ （kは整数）と表せる。

よって、$x = 23k + 1$、$y = -70k - 3$

3. 最終的な答え

$x = 23k + 1$, $y = -70k - 3$ (kは整数)