数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = \frac{1}{3}$ と漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{3-2a_n}$ で定義されている。 (1) $a_2, a_3, a_4$ の値を求めよ。 (2) 一般項 $a_n$ を予想し、それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = \frac{1}{3}$ と漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{3-2a_n}$ で定義されている。

(1) $a_2, a_3, a_4$ の値を求めよ。

(2) 一般項 $a_n$ を予想し、それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$a_2$ を求める。$a_1 = \frac{1}{3}$ を漸化式に代入すると、

$a_2 = \frac{1}{3-2a_1} = \frac{1}{3 - 2(\frac{1}{3})} = \frac{1}{3 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{7}{3}} = \frac{3}{7}$

次に、$a_3$ を求める。$a_2 = \frac{3}{7}$ を漸化式に代入すると、

$a_3 = \frac{1}{3-2a_2} = \frac{1}{3 - 2(\frac{3}{7})} = \frac{1}{3 - \frac{6}{7}} = \frac{1}{\frac{15}{7}} = \frac{7}{15}$

最後に、$a_4$ を求める。$a_3 = \frac{7}{15}$ を漸化式に代入すると、

$a_4 = \frac{1}{3-2a_3} = \frac{1}{3 - 2(\frac{7}{15})} = \frac{1}{3 - \frac{14}{15}} = \frac{1}{\frac{31}{15}} = \frac{15}{31}$

(2)

$a_1 = \frac{1}{3}, a_2 = \frac{3}{7}, a_3 = \frac{7}{15}, a_4 = \frac{15}{31}$ より、$a_n = \frac{2^n - 1}{2^n + 1}$ と予想できる。

数学的帰納法で証明する。

(i) $n=1$ のとき

$a_1 = \frac{2^1 - 1}{2^1 + 1} = \frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3}$ となり、成立する。

(ii) $n=k$ のとき、$a_k = \frac{2^k - 1}{2^k + 1}$ が成立すると仮定する。

$n=k+1$ のとき、

$a_{k+1} = \frac{1}{3-2a_k} = \frac{1}{3 - 2(\frac{2^k - 1}{2^k + 1})} = \frac{1}{\frac{3(2^k + 1) - 2(2^k - 1)}{2^k + 1}} = \frac{2^k + 1}{3 \cdot 2^k + 3 - 2 \cdot 2^k + 2} = \frac{2^k + 1}{2^k + 5} = \frac{2^k + 1}{2^k + 5}$

$= \frac{2^k+1}{2^{k+1} -2+7-2\cdot 2^k}= \frac{2^k+1}{2^{k+1}+5-2^{k+1}}$

計算ミスがあったので修正します。

(ii) $n=k$ のとき、$a_k = \frac{2^k - 1}{2^k + 1}$ が成立すると仮定する。

$n=k+1$ のとき、

$a_{k+1} = \frac{1}{3-2a_k} = \frac{1}{3 - 2(\frac{2^k - 1}{2^k + 1})} = \frac{1}{\frac{3(2^k + 1) - 2(2^k - 1)}{2^k + 1}} = \frac{2^k + 1}{3 \cdot 2^k + 3 - 2 \cdot 2^k + 2} = \frac{2^k + 1}{2^k + 5} = \frac{2^k + 1}{2^k + 5}$

分子分母に $2$ をかける

$a_{k+1} = \frac{2(2^k + 1)}{2(2^k + 5)} = \frac{2^{k+1} + 2}{2^{k+1} + 10} = \frac{2^{k+1} + 2}{2^{k+1} + 10}$

$a_{k+1} = \frac{2^{k+1} - 1}{2^{k+1} + 1}$ を示す。

$\frac{1}{3 - 2(\frac{2^k - 1}{2^k + 1})} = \frac{2^k + 1}{3(2^k + 1) - 2(2^k - 1)} = \frac{2^k + 1}{3 \cdot 2^k + 3 - 2 \cdot 2^k + 2} = \frac{2^k + 1}{2^k + 5}$

$\frac{2^{k+1} - 1}{2^{k+1} + 1} = \frac{2 \cdot 2^k - 1}{2 \cdot 2^k + 1}$

仮定が間違っていた。

$a_n = \frac{2^{n-1}}{2^n-1}$と予想する。

$a_1=\frac{1}{3}, a_2=\frac{1}{3-2*1/3}=\frac{3}{9-2}=\frac{3}{7}, a_3=\frac{1}{3-2*3/7}=\frac{7}{21-6}=\frac{7}{15}, a_4=\frac{1}{3-2*7/15}=\frac{15}{45-14}=\frac{15}{31}$

一般項は$a_n = \frac{2^{n}-1}{2^{n+1}-1}$と予想する。

(i) n=1の時, $a_1 = (2^1-1)/(2^2-1) = 1/3$

(ii) n=kのとき, $a_k = (2^k-1)/(2^{k+1}-1)$と仮定する。

$a_{k+1} = \frac{1}{3-2*(2^k-1)/(2^{k+1}-1)}=\frac{2^{k+1}-1}{3(2^{k+1}-1)-2(2^k-1)}=\frac{2^{k+1}-1}{3*2^{k+1}-3-2^{k+1}+2}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+2}-1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_2 = \frac{3}{7}$, $a_3 = \frac{7}{15}$, $a_4 = \frac{15}{31}$

(2) $a_n = \frac{2^{n}-1}{2^{n+1}-1}$