定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y=x^2-4ax$ の $0 \le x \le 2$ における最小値を求める。

1. 問題の内容

定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y=x^2-4ax$ の $0 \le x \le 2$ における最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = x^2 - 4ax = (x - 2a)^2 - 4a^2$

このグラフは下に凸な放物線で、軸は $x = 2a$ である。

定義域 $0 \le x \le 2$ における最小値を求めるために、軸の位置によって場合分けを行う。

(1) $2a < 0$ のとき、すなわち $a < 0$ のとき、

区間 $0 \le x \le 2$ で関数は単調増加なので、$x=0$ で最小値をとる。

最小値は $y = 0^2 - 4a(0) = 0$

(2) $0 \le 2a \le 2$ のとき、すなわち $0 \le a \le 1$ のとき、

軸 $x = 2a$ が区間 $0 \le x \le 2$ に含まれるので、$x = 2a$ で最小値をとる。

最小値は $y = (2a)^2 - 4a(2a) = 4a^2 - 8a^2 = -4a^2$

(3) $2 < 2a$ のとき、すなわち $1 < a$ のとき、

区間 $0 \le x \le 2$ で関数は単調減少なので、$x=2$ で最小値をとる。

最小値は $y = 2^2 - 4a(2) = 4 - 8a$

まとめると、

* $a < 0$ のとき、最小値は $0$

* $0 \le a \le 1$ のとき、最小値は $-4a^2$

* $1 < a$ のとき、最小値は $4 - 8a$

3. 最終的な答え

$$

\begin{cases}

0 & (a < 0) \\

-4a^2 & (0 \le a \le 1) \\

4-8a & (1 < a)

\end{cases}

$$